Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 40 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un romb ABCDABCD cu AB=12 cmAB = 12\text{ cm}, m(∠BAD)=45∘m(\angle BAD) = 45^\circ și pătratul BCMNBCMN situat în exteriorul rombului ABCDABCD.

Figura 2: rombul ABCD, cu A sus și C jos, și pătratul BCMN construit în exterior, la stânga laturii BC; B este pe segmentul AM.

a)5 p

Arătați că perimetrul pătratului BCMNBCMN este egal cu 48 cm48\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD este romb, deci BC=AB=12 cmBC = AB = 12\text{ cm}3 p
  2. PABCD=4BC=4⋅12=48 cmP_{ABCD} = 4BC = 4 \cdot 12 = 48\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că dreptele AMAM și DCDC sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD este romb, deci ∠BAD≡∠BCD\angle BAD \equiv \angle BCD și m(∠BCD)=45∘m(\angle BCD) = 45^\circ. Cum BCMNBCMN este pătrat și m(∠CBM)=45∘m(\angle CBM) = 45^\circ, obținem ∠CBM≡∠BCD\angle CBM \equiv \angle BCD. Aceste unghiuri sunt alterne interne, deci BM∥DCBM \parallel DC3 p
  2. ABCDABCD este romb, deci AB∥CDAB \parallel CD și, cum BM∥DCBM \parallel DC, obținem că punctele AA, BB și MM sunt coliniare, deci AM∥DCAM \parallel DC2 p

c)5 p

Arătați că aria triunghiului ANCANC este egală cu 72(2+1) cm272(\sqrt{2} + 1)\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BCMNBCMN este pătrat, deci BO⊥NCBO \perp NC, unde {O}=BM∩NC\{O\} = BM \cap NC și, cum AA, BB și MM sunt coliniare, obținem AO⊥NCAO \perp NC2 p
  2. AO=AB+BOAO = AB + BO, BO=CN2=62 cmBO = \dfrac{CN}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}, deci A△AMC=AO⋅NC2=(12+62)⋅1222=72(2+1) cm2\mathcal{A}_{\triangle AMC} = \dfrac{AO \cdot NC}{2} = \dfrac{(12 + 6\sqrt{2}) \cdot 12\sqrt{2}}{2} = 72(\sqrt{2} + 1)\text{ cm}^23 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 40 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereDrepte paralele și perpendiculare în planArii și perimetre în planRadicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).