Evaluarea Națională 2018 la matematică: sesiunea iunie

Rezultatul calculului $30 - 30 : 3$ este egal cu $\ldots$.

Zece caiete de același fel costă $40$ de lei. Cinci dintre acestea costă $\ldots$ lei.

Dacă $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{1, 3, x\}$ și $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, atunci numărul $x$ este egal cu $\ldots$.

Un trapez are baza mare de $12\text{ cm}$ și baza mică de $8\text{ cm}$. Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea egală cu $\ldots\text{ cm}$.

În Figura 1 este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB = 10\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ și $AA' = 4\text{ cm}$. Volumul acestui paralelipiped este egal cu $\ldots\text{ cm}^3$.

În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 8, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna februarie.

Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu $\ldots^\circ\text{C}$.

Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDA'B'C'D'$.

Arătați că numărul natural $N = 2^{n+3} - 2^{n+2} + 7 \cdot 2^{n+1} - 2^n$ este divizibil cu $17$, pentru orice număr natural $n$.

Mai mulți elevi vor să cumpere împreună materiale pentru un proiect școlar. Dacă fiecare elev contribuie cu câte $20$ de lei, mai sunt necesari $20$ de lei pentru cumpărarea materialelor, iar dacă fiecare contribuie cu câte $25$ de lei, rămân $5$ lei după cumpărarea materialelor. Determinați suma necesară pentru cumpărarea materialelor.

Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$.

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctul $D(0, -1)$. Determinați distanța de la punctul $D$ la graficul funcției $f$.

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{x + 1}{x - 3} - \dfrac{2x^2 + 3x - 3}{x^2 - 9} + \dfrac{2x - 1}{x + 3}\right) : \dfrac{2x^2 - 18}{x^2 + 6x + 9}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -3$ și $x \neq 3$. Arătați că $E(x) = \dfrac{1}{2}$, pentru orice $x$ număr real, $x \neq -3$ și $x \neq 3$.

Arătați că unghiul $DCE$ are măsura de $30^\circ$.

Demonstrați că triunghiurile $ACM$ și $CDN$ sunt congruente.

Arătați că patrulaterul $AMDN$ are aria mai mică decât $95\text{ cm}^2$.

Arătați că perimetrul bazei $ABC$ este egal cu $36\text{ cm}$.

Demonstrați că dreapta $VQ$ este paralelă cu planul $(MNP)$.

Determinați numărul real $p$, știind că volumul piramidei $MANP$ reprezintă $p\%$ din volumul piramidei $VABC$.