Evaluare Națională 2019 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un trapez ABCDABCD cu AB∥CDAB \parallel CD, BC=CD=AD=6 cmBC = CD = AD = 6\text{ cm} și AB=12 cmAB = 12\text{ cm}. Punctul EE este simetricul punctului DD față de dreapta ABAB, iar FF și GG sunt punctele de intersecție a dreptei CDCD cu dreptele EAEA, respectiv EBEB.

Figura 2: trapezul isoscel ABCD; E simetricul lui D față de AB, sub AB; dreptele EA și EB taie dreapta CD în F și G.

a)5 p

Arătați că perimetrul trapezului ABCDABCD este egal cu 30 cm30\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=AB+BC+CD+AD=P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD =3 p
  2. =12+6+6+6=30 cm= 12 + 6 + 6 + 6 = 30\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiul ADFADF este echilateral.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. {M}=AB∩DE⇒△AMD\{M\} = AB \cap DE \Rightarrow \triangle AMD este dreptunghic în MM cu AD=6 cmAD = 6\text{ cm} și, cum ABCDABCD este trapez isoscel, deci AM=AB−CD2=3 cmAM = \dfrac{AB - CD}{2} = 3\text{ cm}, obținem m(∠DAM)=60∘m(\angle DAM) = 60^\circ2 p
  2. EE este simetricul lui DD față de dreapta AB⇒∠DAM≡∠EAMAB \Rightarrow \angle DAM \equiv \angle EAM, deci m(∠EAM)=60∘m(\angle EAM) = 60^\circ și, cum punctele EE, AA și FF sunt coliniare, obținem m(∠DAF)=180∘−60∘−60∘=60∘m(\angle DAF) = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ1 p
  3. AB∥DCAB \parallel DC și unghiurile ∠ADF\angle ADF și ∠DAM\angle DAM sunt alterne interne, deci m(∠ADF)=60∘m(\angle ADF) = 60^\circ, de unde obținem că triunghiul ADFADF este echilateral2 p

c)5 p

Demonstrați că dreptele EFEF și EGEG sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △BCD\triangle BCD este isoscel și m(∠BCD)=120∘⇒m(∠CBD)=30∘m(\angle BCD) = 120^\circ \Rightarrow m(\angle CBD) = 30^\circ, deci m(∠ABD)=30∘m(\angle ABD) = 30^\circ și, cum EE este simetricul lui DD față de dreapta AB⇒m(∠ABE)=30∘AB \Rightarrow m(\angle ABE) = 30^\circ3 p
  2. m(∠AEB)=180∘−60∘−30∘=90∘m(\angle AEB) = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ, deci EF⊥EGEF \perp EG2 p

· · Toate exercițiile din EN 2019, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereTriunghiul: proprietăți și congruențăTrigonometrie în triunghiul dreptunghicUnghiuri

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).