Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 4 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 sunt reprezentate un pătrat $ABCD$ și un triunghi dreptunghic isoscel $AEB$ cu $m(\angle AEB)=90^\circ$ și $AE=4\sqrt2\text{ cm}$ . Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$ .

Figura 2: pătratul ABCD, triunghiul dreptunghic isoscel AEB exterior pătratului și F pe prelungirea lui CD, cu D mijlocul lui CF.

a)5 p

Arătați că $AB=8\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AB^2=AE^2+EB^2$ 3 p
$AB^2=32+32=64$ , deci $AB=8\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că punctele $E$ , $A$ și $F$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiul $AEB$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\angle BAE)=45^\circ$ 1 p
Din $FD=DC=AD$ , triunghiul $AFD$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\angle FAD)=45^\circ$ 2 p
$m(\angle FAE)=45^\circ+90^\circ+45^\circ=180^\circ$ , deci $E,A,F$ sunt coliniare2 p

c)5 p

Arătați că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DE$ , atunci $P$ este mijlocul segmentului $DE$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$m(\angle ABD)=45^\circ$ , deci $\angle ABD=\angle EAB$ și $AE\parallel BD$ . Cu $O=AC\cap BD$ , avem $DO=BD/2=4\sqrt2=AE$ , deci $ADOE$ este paralelogram3 p
$P=DE\cap AO$ , iar $DE$ și $AO$ sunt diagonale ale paralelogramului, deci $P$ este mijlocul lui $DE$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 4 (setul 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).