Evaluare Națională 2011 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Prisma patrulateră dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ cu bazele pătrate (Figura 2), reprezintă schematic un suport pentru umbrele. Segmentul $[AP]$ reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctul $C'$ . Se știe că $AB = 30\text{ cm}$ , $AC = CC'$ și $AP = 90\text{ cm}$ .

Figura 2: prisma patrulateră dreaptă ABCDA'B'C'D' și segmentul AP (umbrela) care trece prin vârful C'.

a)5 p

Calculați înălțimea suportului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $30\sqrt{2}\text{ cm}$

Barem oficial

$AC^2 = 2AB^2 \Rightarrow AC^2 = 1800$ 2 p
$CC' = AC = 30\sqrt{2}\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $AP$ și planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $45^\circ$

Barem oficial

$\angle(AP, (ABC)) \equiv \angle PAC$ 2 p
$\triangle ACC'$ este dreptunghic isoscel1 p
$m(\angle(AP, (ABC))) = 45^\circ$ 2 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul $P$ la planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $45\sqrt{2}\text{ cm}$

Barem oficial

Fie $PT \perp (ABC)$ și cum $A$ , $C'$ , $P$ sunt puncte coliniare rezultă că $T \in AC$ 1 p
În $\triangle APT$ , $\sin 45^\circ = \dfrac{PT}{AP}$ 2 p
$PT = 45\sqrt{2}\text{ cm}$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2011, sesiunea iunie (Varianta 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Unghiuri în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Distanțe în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).