Evaluare Națională 2026 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

a)2 p

Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}\text{ cm}^3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AC \cap BD = \{O\}$ , $VO \perp (ABC)$ , $VO = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$V = \dfrac{\mathcal{A}_{ABCD} \cdot VO}{3} = \dfrac{144 \cdot 6\sqrt{2}}{3} = 288\sqrt{2}\text{ cm}^3$ 1 p

b)3 p

Determină tangenta unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\operatorname{tg} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Barem oficial

$MN \perp (ABC)$ , $AD \subset (ABC)$ , deci $MN \perp AD$ , $NQ \perp AD$ , $Q \in AD$ și, cum $MN \cap NQ = \{N\} \Rightarrow AD \perp (QNM)$ 1 p
$NT \perp MQ$ , $T \in MQ$ și $NT \perp AD$ , $MQ \cap AD = \{Q\}$ , de unde obținem $NT \perp (VAD)$ , deci $\angle(MN, (VAD)) = \angle(MN, MT) = \angle NMQ$ 1 p
$MN = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ , $NQ = 3\text{ cm}$ , de unde obținem $\operatorname{tg}(\angle NMQ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2026, subiect de rezervă (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).