Evaluare Națională 2015 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui parc în formă de dreptunghi ABCDABCD cu AB=5 hmAB = 5\text{ hm} și AD=3 hmAD = 3\text{ hm}. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EFEF, DPDP, DQDQ, BPBP și BQBQ, unde E∈(AB)E \in (AB), F∈(CD)F \in (CD) astfel încât AE=CF=1 hmAE = CF = 1\text{ hm}, iar segmentele DPDP și BQBQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele DD, respectiv BB la dreapta EFEF.

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu aleea EF (E pe AB, F pe CD) și perpendicularele DP și BQ pe EF; sunt trasate și DQ și BP.

a)5 p

Calculați lungimea aleii EFEF.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 32 hm3\sqrt{2}\text{ hm}

Barem oficial

  1. EM=3 hmEM = 3\text{ hm} și FM=3 hmFM = 3\text{ hm}, unde FM⊥ABFM \perp AB și M∈(AB)M \in (AB)2 p
  2. EF=32+32=32 hmEF = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\text{ hm}3 p

b)5 p

Arătați că traseul E→P→DE \to P \to D și aleea EFEF au aceeași lungime.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △EMF\triangle EMF este dreptunghic isoscel, deci m(∠FEM)=45∘m(\angle FEM) = 45^\circ, de unde obținem m(∠EFD)=45∘m(\angle EFD) = 45^\circ2 p
  2. △DPF\triangle DPF este dreptunghic isoscel ⇒PD=PF\Rightarrow PD = PF1 p
  3. EP+PD=EP+PF=EFEP + PD = EP + PF = EF, deci traseul E→P→DE \to P \to D și aleea EFEF au aceeași lungime2 p

c)5 p

Demonstrați că patrulaterul DPBQDPBQ este paralelogram.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. DF=BEDF = BE și ∠PFD≡∠QEB⇒△PFD≡△QEB\angle PFD \equiv \angle QEB \Rightarrow \triangle PFD \equiv \triangle QEB (IU), deci DP=BQDP = BQ3 p
  2. Cum DP⊥EFDP \perp EF și BQ⊥EFBQ \perp EF, obținem DP∥BQDP \parallel BQ, deci DPBQDPBQ este paralelogram2 p

Toate exercițiile din EN 2015, simularea din 24 februarie 2015 · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu diagonala BDBD perpendiculară pe latura BCBC și BD⋅BC=12 cm2BD \cdot BC = 12\text{ cm}^2. Aria paralelogramului ABCDABCD este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD perpendiculară pe latura BC.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu aria egală cu 96 cm296\text{ cm}^2. Punctele EE și FF sunt mijloacele laturilor ABAB, respectiv ADAD. Aria triunghiului AEFAEF este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD; E este mijlocul lui AB, F mijlocul lui AD, iar segmentul EF este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCDABCD, cu AB∥CDAB \parallel CD și AD=BC=DCAD = BC = DC. Măsura unghiului DACDAC este egală cu 20∘20^\circ. Măsura unghiului ABCABC este egală cu:

Trapezul ABCD cu baza mare AB jos, baza mică DC sus și diagonala AC trasată.
Rezolvă →

PatrulatereRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuriTriunghiul: proprietăți și congruențăDrepte paralele și perpendiculare în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).