Evaluare Națională 2015 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA = 8\text{ cm}$ și $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ , respectiv $BC$ . Punctul $M$ este situat pe muchia $VB$ astfel încât $EM \perp VB$ .

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD; E mijlocul lui AB, F mijlocul lui BC, M pe VB cu EM perpendiculară pe VB; triunghiul EMF trasat.

a)5 p

Calculați aria triunghiului $BEF$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $8\text{ cm}^2$

Barem oficial

$BE = BF = 4\text{ cm}$ 2 p
$\mathcal{A}_{\triangle BEF} = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului format de dreapta $VD$ cu planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $45^\circ$

Barem oficial

$\{O\} = AC \cap BD$ , $VO \perp (ABC)$ și $D \in (ABC) \Rightarrow m(\angle(VD, (ABC))) = m(\angle(VD, DO)) = m(\angle VDO)$ 2 p
$BD = 8\sqrt{2} \Rightarrow \triangle VBD$ dreptunghic isoscel, deci $m(\angle VDO) = 45^\circ$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că muchia $VB$ este perpendiculară pe planul $(EMF)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BE = BF$ , $\angle MBE \equiv \angle MBF$ și $MB$ latură comună $\Rightarrow \triangle MEB \equiv \triangle MFB$ (LUL)2 p
$m(\angle BMF) = 90^\circ$ , deci $FM \perp VB$ și cum $EM \perp VB$ și $FM \cap EM = \{M\} \Rightarrow VB \perp (EMF)$ 3 p

Toate exercițiile din EN 2015, simularea din 24 februarie 2015 · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și perimetre în plan Unghiuri în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).