Evaluare Națională 2015 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD cu înălțimea de 4 m4\text{ m} și latura bazei de 8 m8\text{ m}.

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD.

a)5 p

Arătați că perimetrul pătratului ABCDABCD este egal cu 32 m32\text{ m}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=4⋅AB=P_{ABCD} = 4 \cdot AB =3 p
  2. =4⋅8=32 m= 4 \cdot 8 = 32\text{ m}2 p

b)5 p

Arătați că aria laterală a piramidei VABCDVABCD este egală cu 642 m264\sqrt{2}\text{ m}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MM este mijlocul segmentului BCBC și {O}=AC∩BD⇒△VMO\{O\} = AC \cap BD \Rightarrow \triangle VMO dreptunghic în OO, de unde obținem VM=42 mVM = 4\sqrt{2}\text{ m}2 p
  2. Alaterala˘=4⋅8⋅422=642 m2\mathcal{A}_{\text{laterală}} = \dfrac{4 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 64\sqrt{2}\text{ m}^23 p

c)5 p

Determinați măsura unghiului dintre planul unei fețe laterale a piramidei și planul bazei.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 45∘45^\circ

Barem oficial

  1. (VBC)∩(ABC)=BC(VBC) \cap (ABC) = BC, VM⊥BCVM \perp BC, VM⊂(VBC)VM \subset (VBC) și OM⊥BCOM \perp BC, OM⊂(ABC)⇒m(∠((VBC),(ABC)))=m(∠VMO)OM \subset (ABC) \Rightarrow m(\angle((VBC), (ABC))) = m(\angle VMO)3 p
  2. △VMO\triangle VMO dreptunghic în OO, VO=4 mVO = 4\text{ m}, OM=4 m⇒m(∠VMO)=45∘OM = 4\text{ m} \Rightarrow m(\angle VMO) = 45^\circ2 p

Toate exercițiile din EN 2015, sesiunea din 10 iunie 2015 (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului dreptelor ACAC și C′D′C'D' este egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala AC a bazei trasată punctat.
Rezolvă →EN 2024 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. Unghiul dreptelor ACAC și AD′AD' are măsura egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonalele de față AC și AD' trasate punctat.
Rezolvă →EN 2023 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=23 cmAB = 2\sqrt{3}\text{ cm}, BC=2 cmBC = 2\text{ cm} și AA′=4 cmAA' = 4\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul segmentului BCBC.

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu M mijlocul muchiei BC; sunt trasate A'C, AB', B'M și AM.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriPatrulatereArii și volume ale corpurilorRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).