Evaluare Națională 2016 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un romb $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $m(\angle ABC) = 120^\circ$ .

Figura 2: rombul ABCD cu vârful A sus și C jos; diagonalele AC și BD trasate punctat.

a)5 p

Arătați că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $40\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABCD} = 4AB =$ 3 p
$= 4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că lungimea diagonalei $AC$ este egală cu $10\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ romb $\Rightarrow AO \perp BD$ , unde $AC \cap BD = \{O\}$ 2 p
$AO = 5\sqrt{3}\text{ cm} \Rightarrow AC = 2AO = 10\sqrt{3}\text{ cm}$ 3 p

c)5 p

Pe laturile $AB$ , $BC$ , $CD$ și $DA$ ale rombului $ABCD$ se consideră punctele $M$ , $N$ , $P$ , respectiv $Q$ , astfel încât $MN \parallel AC$ și $MNPQ$ este pătrat. Demonstrați că $MN = 5\left(3 - \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MN \parallel AC \Rightarrow \triangle BMN \sim \triangle BAC$ , deci $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{BA}$ 1 p
$MNPQ$ pătrat și $AC \perp BD \Rightarrow MQ \parallel BD$ , deci $\triangle AMQ \sim \triangle ABD$ , de unde obținem $\dfrac{MQ}{BD} = \dfrac{AM}{AB}$ 1 p
$MN = MQ$ și $\dfrac{AM}{AB} + \dfrac{BM}{BA} = 1$ , implică $\dfrac{MN}{10\sqrt{3}} + \dfrac{MN}{10} = 1$ , deci $MN = \dfrac{10\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = 5\left(3 - \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ 3 p

Toate exercițiile din EN 2016, subiect de rezervă (Varianta 03) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).