Evaluare Națională 2017 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un con circular drept, cu secțiunea axială VABVAB, raza bazei OA=3 cmOA = 3\text{ cm} și înălțimea VO=4 cmVO = 4\text{ cm}.

Figura 3: con circular drept cu vârful V, înălțimea VO și diametrul bazei AB.

a)5 p

Arătați că aria bazei conului este egală cu 9π cm29\pi\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Abazei=π⋅OA2=\mathcal{A}_{\text{bazei}} = \pi \cdot OA^2 =2 p
  2. =π⋅32=9π cm2= \pi \cdot 3^2 = 9\pi\text{ cm}^23 p

b)5 p

Calculați aria laterală a conului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 15π cm215\pi\text{ cm}^2

Barem oficial

  1. AV=32+42=5 cmAV = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}2 p
  2. Alaterala˘=π⋅3⋅5=15π cm2\mathcal{A}_{\text{laterală}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi\text{ cm}^23 p

c)5 p

Pe cercul de centru OO și rază OAOA se consideră un punct CC, astfel încât m(∠BOC)=90∘m(\angle BOC) = 90^\circ. Demonstrați că distanța de la punctul OO la planul (VBC)(VBC) este egală cu 124141 cm\dfrac{12\sqrt{41}}{41}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ON⊥(VBC)ON \perp (VBC), N∈(VBC)N \in (VBC) și BC⊂(VBC)⇒BC⊥ONBC \subset (VBC) \Rightarrow BC \perp ON1 p
  2. BC⊥VOBC \perp VO, ON∩VO={O}⇒BC⊥(VON)⇒BC⊥VNON \cap VO = \{O\} \Rightarrow BC \perp (VON) \Rightarrow BC \perp VN și, pentru {M}=VN∩BC\{M\} = VN \cap BC, obținem că punctul MM este mijlocul segmentului BCBC1 p
  3. VM=822 cmVM = \dfrac{\sqrt{82}}{2}\text{ cm}, OM=322 cmOM = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm} și ONON este înălțime în △VOM\triangle VOM dreptunghic în OO, deci ON=VO⋅OMVM=1241=124141 cmON = \dfrac{VO \cdot OM}{VM} = \dfrac{12}{\sqrt{41}} = \dfrac{12\sqrt{41}}{41}\text{ cm}3 p

Toate exercițiile din EN 2017, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2016 model · Subiectul III, ex. 2 · 15 p

În Figura 3 este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept a cărui secțiune axială este triunghiul AVBAVB cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și VA=VB=13 cmVA = VB = 13\text{ cm}.

Figura 3: cornet în formă de con circular drept cu vârful V în jos, diametrul AB sus și centrul O.
Rezolvă →EN 2015 model · Subiectul III, ex. 2 · 15 p

În Figura 3 este reprezentat un con circular drept cu înălțimea VOVO, VO=12 cmVO = 12\text{ cm}. Segmentul ABAB este diametru al bazei conului și VA=15 cmVA = 15\text{ cm}.

Figura 3: con circular drept cu vârful V, înălțimea VO și diametrul bazei AB.
Rezolvă →EN 2025 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral VABVAB, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm}. Aria laterală a conului este egală cu:

Con circular drept cu vârful V și diametrul bazei AB; secțiunea axială VAB.
Rezolvă →

Cilindru, con, sferăCerculRelații metrice în triunghiul dreptunghicDistanțe în spațiuParalelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).