Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 31 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AC=12\sqrt3\text{ cm}$ . Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$ , iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$ , $VO=6\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VB$ , $VC$ și, respectiv, $VO$ astfel încât $VM/VB=2/3$ , $CN=4\text{ cm}$ și $VP=2PO$ .

Figura 3: rombul ABCD cu diagonalele AC și BD intersectate în O, VO perpendiculară pe plan și M pe VB, N pe VC, P pe VO; sunt trasate MN, MP și NP.

a)5 p

Arătați că lungimea segmentului $CO$ este egală cu $6\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Diagonalele rombului se înjumătățesc, deci $CO=AC/2$ 3 p
$CO=12\sqrt3/2=6\sqrt3\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că planele $(MNP)$ și $(ABC)$ sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul dreptunghic $VOC$ , $VC=\sqrt{VO^2+CO^2}=12\text{ cm}$ . Cum $CN=4$ , $VN/VC=2/3=VM/VB$ , deci $MN\parallel BC$ 2 p
Din $VP=2PO$ , $VP/VO=2/3=VM/VB$ , deci $MP\parallel BO$ . Cele două perechi de drepte concurente paralele dau $(MNP)\parallel(ABC)$ 3 p

c)5 p

Determinați distanța dintre planele paralele $(MNP)$ și $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $2\text{ cm}$

Barem oficial

Din paralelismul planelor și $VO\perp(ABC)$ , rezultă $VO\perp(MNP)$ . Cum $P\in(MNP)$ și $O\in(ABC)$ , distanța dintre plane este $PO$ 3 p
$VP+PO=6$ și $VP=2PO$ , deci $PO=2\text{ cm}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 31 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu diagonala $BD$ perpendiculară pe latura $BC$ și $BD \cdot BC = 12\text{ cm}^2$ . Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu aria egală cu $96\text{ cm}^2$ . Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ , respectiv $AD$ . Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD; E este mijlocul lui AB, F mijlocul lui AD, iar segmentul EF este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ , cu $AB \parallel CD$ și $AD = BC = DC$ . Măsura unghiului $DAC$ este egală cu $20^\circ$ . Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

Trapezul ABCD cu baza mare AB jos, baza mică DC sus și diagonala AC trasată.

Rezolvă →

Patrulatere Teorema lui Thales și asemănarea Paralelism și perpendicularitate în spațiu Distanțe în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).