Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 39 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 sunt reprezentate triunghiurile dreptunghice isoscele ABCABC, CDFCDF și DEFDEF, cu ipotenuzele BCBC, DFDF, respectiv EFEF. Punctul FF este mijlocul segmentului BCBC și AB=24 cmAB = 24\text{ cm}.

Figura 2: triunghiul ABC sub segmentul BC, cu A jos și F mijlocul lui BC; deasupra lui FC este triunghiul CDF, dreptunghic în C, și deasupra lui DF este triunghiul DEF, dreptunghic în D, cu E deasupra lui F.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului ABCABC este egal cu 24(2+2) cm24(2 + \sqrt{2})\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △ABC\triangle ABC este dreptunghic isoscel cu AB=24 cmAB = 24\text{ cm}, deci AC=24 cmAC = 24\text{ cm} și BC=242 cmBC = 24\sqrt{2}\text{ cm}3 p
  2. P△ABC=AB+BC+AC=48+242=24(2+2) cmP_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 48 + 24\sqrt{2} = 24(2 + \sqrt{2})\text{ cm}2 p

b)5 p

Calculați lungimea segmentului BEBE.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1210 cm12\sqrt{10}\text{ cm}

Barem oficial

  1. △CDF\triangle CDF este dreptunghic isoscel, deci m(∠CFD)=45∘m(\angle CFD) = 45^\circ, și △DEF\triangle DEF este dreptunghic isoscel, deci m(∠DFE)=45∘m(\angle DFE) = 45^\circ. Rezultă m(∠CFE)=90∘m(\angle CFE) = 90^\circ, deci EF⊥BFEF \perp BF2 p
  2. BF=CF=122 cmBF = CF = 12\sqrt{2}\text{ cm}, DF=24 cmDF = 24\text{ cm} și EF=242 cmEF = 24\sqrt{2}\text{ cm}. Din triunghiul dreptunghic BEFBEF obținem BE=EF2+BF2=1210 cmBE = \sqrt{EF^2 + BF^2} = 12\sqrt{10}\text{ cm}3 p

c)5 p

Demonstrați că patrulaterul ACDEACDE este trapez isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △ABC\triangle ABC este isoscel și FF este mijlocul laturii BCBC, deci AF⊥BCAF \perp BC. Cum EF⊥BCEF \perp BC, obținem că punctele AA, FF și EE sunt coliniare2 p
  2. EF⊥BCEF \perp BC și DC⊥BCDC \perp BC, deci AE∥DCAE \parallel DC. Cum AC=DE=24 cmAC = DE = 24\text{ cm}, obținem că ACDEACDE este trapez isoscel3 p

· · Toate exercițiile din EN 2020, Test 39 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6.

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă care taie axa Ox în dreapta originii și axa Oy sub origine.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 3 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC dreptunghic în CC, cu AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și măsura unghiului BB egală cu 30∘30^\circ. Proiecția punctului CC pe dreapta ABAB este punctul DD. Lungimea segmentului CDCD este egală cu:

Triunghiul ABC dreptunghic în C, cu înălțimea CD pe ipotenuza AB.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 3 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=4 cmBC = 4\text{ cm} și măsura unghiului CC egală cu 30∘30^\circ. Punctul MM este mijlocul segmentului BCBC. Perimetrul triunghiului ABMABM este egal cu:

Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu M mijlocul ipotenuzei BC și segmentul AM trasat.
Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuriPatrulatereLinii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).