Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 39 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară VABCVABC cu triunghiul ABCABC echilateral, AB=20 cmAB = 20\text{ cm}, VA=30 cmVA = 30\text{ cm} și VO⊥(ABC)VO \perp (ABC), unde OO este centrul cercului circumscris triunghiului ABCABC. Punctele MM și NN sunt mijloacele segmentelor ABAB, respectiv BCBC, iar punctul PP este situat pe muchia CVCV astfel încât VP=10 cmVP = 10\text{ cm}.

Figura 3: piramida triunghiulară VABC, cu O centrul bazei echilaterale, M mijlocul lui AB, N mijlocul lui BC și P pe VC; sunt trasate VO, VM, VN și PO.

a)5 p

Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 1003 cm2100\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △ABC\triangle ABC este echilateral, deci A△ABC=AB234\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}3 p
  2. A△ABC=40034=1003 cm2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{400\sqrt{3}}{4} = 100\sqrt{3}\text{ cm}^22 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta POPO este paralelă cu planul (VMN)(VMN).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VO⊥OAVO \perp OA, VO⊥OCVO \perp OC și OA=OCOA = OC, deci triunghiurile dreptunghice VOAVOA și VOCVOC sunt congruente, de unde CV=30 cmCV = 30\text{ cm}. Cum VP=10 cmVP = 10\text{ cm}, obținem CPCV=23\dfrac{CP}{CV} = \dfrac{2}{3}2 p
  2. Triunghiul ABCABC este echilateral, iar OO este centrul cercului circumscris, deci CC, OO și MM sunt coliniare și COCM=23=CPCV\dfrac{CO}{CM} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{CP}{CV}, de unde PO∥VMPO \parallel VM. Cum VM⊂(VMN)VM \subset (VMN), obținem PO∥(VMN)PO \parallel (VMN)3 p

c)5 p

Determinați cosinusul unghiului dreptelor ACAC și VMVM.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 28\dfrac{\sqrt{2}}{8}

Barem oficial

  1. MNMN este linie mijlocie în △ABC\triangle ABC, deci MN∥ACMN \parallel AC, astfel unghiul dreptelor ACAC și VMVM este ∠VMN\angle VMN2 p
  2. VM=VN=202 cmVM = VN = 20\sqrt{2}\text{ cm}, deci △VMN\triangle VMN este isoscel și VQ⊥MNVQ \perp MN, unde QQ este mijlocul segmentului MNMN. Rezultă cos⁡(∠VMN)=MQVM=5202=28\cos(\angle VMN) = \dfrac{MQ}{VM} = \dfrac{5}{20\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{8}3 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 39 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât ABAB este diametru. Dreptele CDCD și ABAB sunt paralele, semidreapta ACAC este bisectoarea unghiului BADBAD și CD=16 cmCD = 16\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=32x+3f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3.

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.
Rezolvă →

Arii și perimetre în planParalelism și perpendicularitate în spațiuTeorema lui Thales și asemănareaLinii importante în triunghiUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).