Evaluare Națională 2022 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=32 cmAB = 3\sqrt{2}\text{ cm} și BC=CC′=3 cmBC = CC' = 3\text{ cm}.

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu diagonala BD' trasată punctat.

a)2 p

Arată că diagonala BD′BD' a paralelipipedului este egală cu 6 cm6\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BD=32+(32)2=33 cmBD = \sqrt{3^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}1 p
  2. În triunghiul D′DBD'DB dreptunghic în D⇒BD′=(33)2+32=6 cmD \Rightarrow BD' = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 + 3^2} = 6\text{ cm}1 p

b)3 p

Calculează tangenta unghiului dintre planele (D′AB)(D'AB) și (A′BC′)(A'BC').

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 12\dfrac{1}{2}

Barem oficial

  1. (AD′B)∩(A′BC′)=BC′(AD'B) \cap (A'BC') = BC', A′O⊥BC′A'O \perp BC', A′O⊂(A′BC′)A'O \subset (A'BC'), OO′⊥BC′OO' \perp BC', OO′⊂(AD′B)OO' \subset (AD'B), deci ∠((AD′B),(A′BC′))=∠(A′O,OO′)=∠A′OO′\angle\left((AD'B), (A'BC')\right) = \angle(A'O, OO') = \angle A'OO', unde OO și O′O' sunt mijloacele segmentelor BC′BC', respectiv AD′AD'1 p
  2. A′O′=322 cmA'O' = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}, OO′=32 cmOO' = 3\sqrt{2}\text{ cm}1 p
  3. În triunghiul A′OO′A'OO' dreptunghic în O′O', tg⁡(∠A′OO′)=A′O′OO′=12\operatorname{tg}(\angle A'OO') = \dfrac{A'O'}{OO'} = \dfrac{1}{2}1 p

Toate exercițiile din EN 2022, subiect de rezervă (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).