Evaluare Națională 2023 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB = 6\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $B'C'$ și dreptele $BM$ și $B'C$ se intersectează în punctul $R$ . Punctul $P$ aparține segmentului $AC$ , astfel încât $AP = 2\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Cubul ABCDA'B'C'D'; M mijlocul lui B'C', R intersecția lui BM cu B'C, P pe diagonala AC; segmentele PR și AD' trasate.

a)2 p

Arată că $CP = 2 \cdot AP$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AC = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$CP = AC - AP = 4\sqrt{2}\text{ cm} = 2 \cdot AP$ 1 p

b)3 p

Determină măsura unghiului dreptelor $PR$ și $AD'$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $60^\circ$

Barem oficial

$\triangle BRC \sim \triangle MRB' \Rightarrow \dfrac{B'R}{RC} = \dfrac{1}{2}$ 1 p
Cum $\dfrac{AP}{PC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{B'R}{RC} = \dfrac{AP}{PC}$ , deci $PR \parallel AB'$ 1 p
$\angle(PR, AD') = \angle(AB', AD') = \angle D'AB'$ și, cum $\triangle D'AB'$ este echilateral $\Rightarrow \angle(PR, AD') = 60^\circ$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2023, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).