Evaluare Națională 2024 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Punctele $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $AA'$ , $A'D'$ , $DD'$ , respectiv $AD$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P, Q mijloacele lui AA', A'D', DD', AD; T mijlocul lui PQ; segmentele MN, PQ și CT trasate.

a)2 p

Arată că $MN = PQ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MN$ este linie mijlocie în triunghiul $AA'D' \Rightarrow MN = \dfrac{AD'}{2}$ 1 p
$PQ$ este linie mijlocie în triunghiul $ADD' \Rightarrow PQ = \dfrac{AD'}{2}$ , deci $MN = PQ$ 1 p

b)3 p

Știind că punctul $T$ este mijlocul segmentului $PQ$ , demonstrează că dreapta $CT$ este paralelă cu planul $(MNB)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MN \parallel AD'$ , $PQ \parallel AD' \Rightarrow MN \parallel PQ$ 1 p
$MPCB$ este paralelogram, deci $MB \parallel PC$ și, cum $MN \cap MB = \{M\}$ , $MN, MB \subset (MNB)$ , $PQ \cap PC = \{P\}$ , $PQ, PC \subset (PQC)$ , obținem $(MNB) \parallel (PQC)$ 1 p
$CT \subset (PQC) \Rightarrow CT \parallel (MNB)$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2024, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Linii importante în triunghi Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).