Evaluare Națională 2025 · Matematică · sesiunea specială · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $BCQ$ , cu $QB = QC$ , unde punctul $Q$ este situat în exteriorul pătratului.

Pătratul ABCD cu triunghiul dreptunghic isoscel BCQ construit în exterior pe latura BC; sunt trasate diagonala AC și segmentul DQ, care se intersectează în T.

a)2 p

Arată că măsura unghiului $ACQ$ este egală cu $90^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ABC$ este dreptunghic isoscel, deci $\angle ACB = 45^\circ$ 1 p
$\triangle BCQ$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow \angle BCQ = 45^\circ$ , deci $\angle ACQ = \angle ACB + \angle BCQ = 90^\circ$ 1 p

b)3 p

Arată că $AT = 3 \cdot TC$ , unde $T$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DQ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle DOC = \angle OCQ = 90^\circ \Rightarrow DO \parallel CQ$ , unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ 1 p
$\triangle OCB \equiv \triangle QCB$ , deci $CO = CQ$ și $CO = DO$ , deci $DO = CQ$ și, cum $DO \parallel CQ$ , obținem că $DOQC$ este paralelogram1 p
$OT = TC = \dfrac{CO}{2}$ , $AT = AO + OT = CO + \dfrac{CO}{2} = 3 \cdot \dfrac{CO}{2} = 3 \cdot TC$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2025, sesiunea specială (Varianta 3) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).