Evaluare Națională 2016 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată schematic o platformă în formă de pătrat ABCDABCD cu latura de 16 m16\text{ m}. Segmentul SOSO, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD, reprezintă o antenă de telefonie mobilă amplasată perpendicular pe planul pătratului ABCDABCD. Antena este ancorată cu patru cabluri SBSB, SDSD, VMVM și VNVN, unde punctul VV este situat pe segmentul SOSO, iar MM și NN sunt mijloacele laturilor BCBC, respectiv ADAD. Cablul SBSB face cu planul pătratului ABCDABCD un unghi de 60∘60^\circ.

Figura 3: platforma pătrată ABCD cu antena SO perpendiculară în centrul O; V pe SO; cablurile SB, SD, VM și VN, cu M și N mijloacele lui BC și AD.

a)5 p

Calculați înălțimea antenei SOSO.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: SO=86 mSO = 8\sqrt{6}\text{ m}

Barem oficial

  1. SO⊥(ABC)⇒m(∠(SB,(ABC)))=m(∠(SB,OB))⇒m(∠SBO)=60∘SO \perp (ABC) \Rightarrow m(\angle(SB, (ABC))) = m(\angle(SB, OB)) \Rightarrow m(\angle SBO) = 60^\circ2 p
  2. Cum △SBO\triangle SBO este dreptunghic în OO și BO=82 mBO = 8\sqrt{2}\text{ m}, obținem SO=86 mSO = 8\sqrt{6}\text{ m}3 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre planele (VOM)(VOM) și (SOB)(SOB).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 45∘45^\circ

Barem oficial

  1. Cum (VOM)∩(SOB)=VO(VOM) \cap (SOB) = VO, OM⊥VOOM \perp VO, OM⊂(VOM)OM \subset (VOM) și OB⊥VOOB \perp VO, OB⊂(SOB)OB \subset (SOB), obținem m(∠((VOM),(SOB)))=m(∠(OM,OB))=m(∠MOB)m(\angle((VOM), (SOB))) = m(\angle(OM, OB)) = m(\angle MOB)3 p
  2. △MOB\triangle MOB este dreptunghic isoscel, deci m(∠MOB)=45∘m(\angle MOB) = 45^\circ2 p

c)5 p

Știind că punctul HH este proiecția punctului OO pe planul (SAD)(SAD), demonstrați că HH este ortocentrul triunghiului SADSAD.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. OH⊥(SAD)⇒OH⊥ADOH \perp (SAD) \Rightarrow OH \perp AD, SO⊥ADSO \perp AD și cum OH∩SO={O}⇒AD⊥(OSH)OH \cap SO = \{O\} \Rightarrow AD \perp (OSH), de unde AD⊥SH⇒SHAD \perp SH \Rightarrow SH este înălțime în △SAD\triangle SAD2 p
  2. OD⊥OAOD \perp OA, OD⊥SOOD \perp SO și OA∩SO={O}⇒OD⊥(SOA)⇒OD⊥SAOA \cap SO = \{O\} \Rightarrow OD \perp (SOA) \Rightarrow OD \perp SA1 p
  3. OH⊥(SAD)⇒OH⊥SAOH \perp (SAD) \Rightarrow OH \perp SA, OD⊥SAOD \perp SA și cum OH∩OD={O}⇒SA⊥(ODH)OH \cap OD = \{O\} \Rightarrow SA \perp (ODH), de unde SA⊥DH⇒DHSA \perp DH \Rightarrow DH este înălțime în △SAD\triangle SAD, deci HH este ortocentrul △SAD\triangle SAD2 p

Toate exercițiile din EN 2016, simularea din 23 februarie 2016 · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghicRelații metrice în triunghiul dreptunghicParalelism și perpendicularitate în spațiuLinii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).