Evaluare Națională 2017 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un pătrat ABCDABCD cu AB=4 cmAB = 4\text{ cm}. Pe planul pătratului ABCDABCD se construiesc perpendicularele AEAE și CFCF astfel încât AE=26 cmAE = 2\sqrt{6}\text{ cm} și CF=22 cmCF = 2\sqrt{2}\text{ cm}.

Figura 3: pătratul ABCD cu perpendicularele AE și CF pe plan; sunt trasate EB, ED, FB, FD și BD.

a)5 p

Arătați că AC=42 cmAC = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AC2=AB2+BC2=AC^2 = AB^2 + BC^2 =2 p
  2. =16+16=32= 16 + 16 = 32, deci AC=42 cmAC = 4\sqrt{2}\text{ cm}3 p

b)5 p

Arătați că aria triunghiului FBDFBD este egală cu 82 cm28\sqrt{2}\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. FC⊥(ABC)FC \perp (ABC), CB,CD⊂(ABC)⇒FC⊥CBCB, CD \subset (ABC) \Rightarrow FC \perp CB și FC⊥CDFC \perp CD, de unde △FCB≡△FCD\triangle FCB \equiv \triangle FCD, deci △FBD\triangle FBD este isoscel, de unde obținem FO⊥BDFO \perp BD, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD2 p
  2. △FCO\triangle FCO este dreptunghic, deci FO=4 cmFO = 4\text{ cm}, de unde obținem A△FBD=42⋅42=82 cm2\mathcal{A}_{\triangle FBD} = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}^23 p

c)5 p

Demonstrați că unghiul dintre planele (EBD)(EBD) și (FBD)(FBD) are măsura egală cu 75∘75^\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. EA⊥(ABC)EA \perp (ABC), AO⊥BDAO \perp BD, AO,BD⊂(ABC)⇒EO⊥BDAO, BD \subset (ABC) \Rightarrow EO \perp BD1 p
  2. Cum (EBD)∩(FBD)=BD(EBD) \cap (FBD) = BD, EO⊥BDEO \perp BD, EO⊂(EBD)EO \subset (EBD) și FO⊥BDFO \perp BD, FO⊂(FBD)FO \subset (FBD), obținem m(∠((EBD),(FBD)))=m(∠(EO,FO))m(\angle((EBD), (FBD))) = m(\angle(EO, FO))1 p
  3. △FCO\triangle FCO dreptunghic isoscel, deci m(∠FOC)=45∘m(\angle FOC) = 45^\circ și △EAO\triangle EAO dreptunghic cu AO=12OEAO = \dfrac{1}{2}OE, deci m(∠EOA)=60∘m(\angle EOA) = 60^\circ, de unde obținem m(∠(EO,FO))=m(∠EOF)=180∘−60∘−45∘=75∘m(\angle(EO, FO)) = m(\angle EOF) = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ3 p

Toate exercițiile din EN 2017, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicPatrulatereArii și perimetre în planUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).