Evaluare Națională 2018 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB > BC$ și $AC = 4\text{ dm}$ , iar punctul $O$ este intersecția diagonalelor dreptunghiului. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AO$ , respectiv $CO$ și punctul $L$ aparține laturii $AB$ , astfel încât $LE = LF$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu diagonala AC; O mijlocul lui AC; E și F mijloacele lui AO și CO; L pe AB cu LE = LF.

a)5 p

Arătați că $OE = 1\text{ dm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Punctul $O$ este mijlocul segmentului $AC$ , deci $AO = 2\text{ dm}$ 3 p
$OE = \dfrac{AO}{2} = 1\text{ dm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiurile $AOL$ și $ABC$ sunt asemenea.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle LEF$ este isoscel și $O$ este mijlocul segmentului $EF$ , deci $LO \perp EF$ 2 p
Cum $\triangle AOL$ și $\triangle ABC$ sunt dreptunghice și $\angle OAL \equiv \angle BAC$ , obținem $\triangle AOL \sim \triangle ABC$ 3 p

c)5 p

Arătați că, dacă triunghiul $LEF$ este echilateral, atunci $AB = \dfrac{8\sqrt{7}}{7}\text{ dm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$EF = 2\text{ dm}$ și $\triangle LEF$ echilateral, deci $OL = \sqrt{3}\text{ dm}$ , de unde obținem $AL = \sqrt{7}\text{ dm}$ 3 p
$\triangle AOL \sim \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{AO}{AB} = \dfrac{AL}{AC} \Rightarrow \dfrac{2}{AB} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ , deci $AB = \dfrac{8\sqrt{7}}{7}\text{ dm}$ 2 p

Toate exercițiile din EN 2018, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Puncte, drepte, segmente Teorema lui Thales și asemănarea Triunghiul: proprietăți și congruență Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).