Evaluare Națională 2018 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat ABCDABCD cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm}. Punctele MM și NN sunt mijloacele muchiilor CDCD, respectiv BCBC.

Figura 3: tetraedrul regulat ABCD; M mijlocul lui CD, N mijlocul lui BC; P pe AM și Q pe DN, segmentul PQ trasat.

a)5 p

Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCDABCD este egală cu 60 cm60\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCDABCD este egală cu 6AB=6AB =3 p
  2. =6⋅10=60 cm= 6 \cdot 10 = 60\text{ cm}2 p

b)5 p

Arătați că aria totală a tetraedrului ABCDABCD este egală cu 3 dm2\sqrt{3}\text{ dm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD este tetraedru regulat, deci Atotala˘=4⋅A△ABC=\mathcal{A}_{\text{totală}} = 4 \cdot \mathcal{A}_{\triangle ABC} =2 p
  2. =1003 cm2=3 dm2= 100\sqrt{3}\text{ cm}^2 = \sqrt{3}\text{ dm}^23 p

c)5 p

Demonstrați că dreapta PQPQ este paralelă cu planul (ABD)(ABD), unde punctele PP și QQ sunt situate pe segmentele AMAM, respectiv DNDN astfel încât APAM=DQDN=13\dfrac{AP}{AM} = \dfrac{DQ}{DN} = \dfrac{1}{3}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. DQDN=13\dfrac{DQ}{DN} = \dfrac{1}{3}, deci QQ este mijlocul segmentului DODO, unde OO este centrul de greutate al △BCD\triangle BCD1 p
  2. TQTQ este linie mijlocie în △ODB⇒TQ∥BD\triangle ODB \Rightarrow TQ \parallel BD, unde TT este mijlocul segmentului OBOB1 p
  3. APPM=BTTM⇒PT∥AB\dfrac{AP}{PM} = \dfrac{BT}{TM} \Rightarrow PT \parallel AB și, cum PT⊄(ABD)PT \not\subset (ABD) și TQ⊄(ABD)TQ \not\subset (ABD), obținem (PTQ)∥(ABD)(PTQ) \parallel (ABD)2 p
  4. Cum PQ⊂(PTQ)PQ \subset (PTQ), obținem PQ∥(ABD)PQ \parallel (ABD)1 p

Toate exercițiile din EN 2018, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorPoligoane regulate înscrise în cercParalelism și perpendicularitate în spațiuLinii importante în triunghiTeorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).