Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 13 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AB=18\text{ cm}$ și $m(\angle ABC)=60^\circ$ .

Figura 2: rombul ABCD, cu unghiul ABC de 60 de grade și diagonalele AC și BD trasate.

a)5 p

Arătați că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $72\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABCD}=4AB$ 3 p
$P_{ABCD}=4\cdot18=72\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că lungimea diagonalei $BD$ este egală cu $18\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BO\perp AC$ , unde $O=AC\cap BD$ . Triunghiul $ABC$ este echilateral, deci înălțimea $BO=9\sqrt3\text{ cm}$ 3 p
$O$ este mijlocul lui $BD$ , deci $BD=2BO=18\sqrt3\text{ cm}$ 2 p

c)5 p

Pe laturile $AB$ , $BC$ , $CD$ și $DA$ ale rombului $ABCD$ se consideră punctele $M$ , $N$ , $P$ , respectiv $Q$ , astfel încât $MN\parallel AC$ și $MNPQ$ este pătrat. Demonstrați că $(\sqrt3+1)MN=BD$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Din $MN\parallel AC$ , $\triangle BMN\sim\triangle BAC$ , deci $MN/AC=BM/BA$ . Cum $MNPQ$ este pătrat și $AC\perp BD$ , $MQ\parallel BD$ , deci $\triangle AMQ\sim\triangle ABD$ și $MQ/BD=AM/AB$ . Prin adunare, $MN/AC+MQ/BD=1$ 3 p
$MN/18+MN/(18\sqrt3)=1$ , deci $(\sqrt3+1)MN=18\sqrt3=BD$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 13 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).