Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 13 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un triunghi dreptunghic $ABC$ cu $AB\perp AC$ , $AB=4\sqrt{10}\text{ cm}$ , $AC=12\sqrt{10}\text{ cm}$ și $PA\perp(ABC)$ , $PA=12\text{ cm}$ . Punctul $D$ este proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$ .

Figura 3: triunghiul ABC dreptunghic în A, D pe BC cu AD perpendiculară pe BC și P în afara planului cu PA perpendiculară pe plan; sunt trasate PD și PC.

a)5 p

Arătați că $BC=40\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BC^2=AB^2+AC^2=(4\sqrt{10})^2+(12\sqrt{10})^2$ 2 p
$BC=\sqrt{160+1440}=\sqrt{1600}=40\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $PD$ și planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $45^\circ$

Barem oficial

Proiecția lui $PD$ pe $(ABC)$ este $AD$ , deci unghiul căutat este $PDA$ 2 p
$AD=AB\cdot AC/BC=12\text{ cm}$ . Cum $PA=12\text{ cm}$ și $PA\perp AD$ , triunghiul $PAD$ este dreptunghic isoscel, deci $\angle PDA=45^\circ$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că numărul care reprezintă distanța, măsurată în centimetri, de la punctul $A$ la planul $(PBC)$ aparține mulțimii $I=(8{,}46;8{,}52)$ . Se presupune cunoscut faptul că $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Fie $M\in PD$ cu $AM\perp PD$ . Cum $BC\perp PA$ și $BC\perp AD$ , avem $BC\perp(PAD)$ , deci $BC\perp AM$ 2 p
$AM\perp BC$ și $AM\perp PD$ , drepte concurente în planul $(PBC)$ , deci $AM\perp(PBC)$ și $d(A,(PBC))=AM$ 1 p
În triunghiul dreptunghic isoscel $PAD$ , $AM=6\sqrt2\text{ cm}$ . Din $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$ rezultă $8{,}46<AM<8{,}52$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 13 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Unghiuri în spațiu Arii și perimetre în plan Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Numere reale: apartenență, comparare, modul

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).