Evaluare Națională 2023 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu $AB = 4\text{ cm}$ și triunghiul echilateral $ABP$ .

Pătratul ABCD cu triunghiul echilateral ABP construit în exterior pe latura AB; segmentul PD intersectează AB în M.

a)2 p

Arată că măsura unghiului $DPB$ este egală cu $45^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle PAD = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$ , $AD = AP \Rightarrow$ triunghiul $APD$ isoscel, deci $\angle ADP \equiv \angle APD$ 1 p
$\angle APD = 15^\circ \Rightarrow \angle DPB = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ$ 1 p

b)3 p

Demonstrează că $AM = 4\left(2 - \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ , unde $\{M\} = AB \cap PD$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul echilateral $APB$ , $PQ \perp AB$ , $Q \in AB$ , deci $PQ = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $Q$ este mijlocul lui $AB \Rightarrow AQ = 2\text{ cm}$ 1 p
$PQ \parallel AD \Rightarrow \triangle DAM \sim \triangle PQM \Rightarrow \dfrac{AD}{PQ} = \dfrac{AM}{MQ}$ 1 p
$\Rightarrow AM = 4\left(2 - \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2023, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Triunghiul: proprietăți și congruență Unghiuri Teorema lui Thales și asemănarea Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).