Evaluare Națională 2012 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Laboratorul unei cofetării prepară bomboane în formă de piramidă triunghiulară regulată cu muchia laterală de 2 cm2\text{ cm} și cu muchia bazei de 3 cm3\text{ cm}.

a)5 p

Arătați că înălțimea piramidei este de 1 cm1\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Notăm piramida VABCVABC și cu OO centrul bazei ABC⇒OA=3 cmABC \Rightarrow OA = \sqrt{3}\text{ cm}2 p
  2. Finalizare: VO=1 cmVO = 1\text{ cm}3 p

b)5 p

Calculați volumul unei bomboane.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 334 cm3\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\text{ cm}^3

Barem oficial

  1. Ab=943 cm2\mathcal{A}_b = \dfrac{9}{4}\sqrt{3}\text{ cm}^23 p
  2. Finalizare: V=334 cm3V = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\text{ cm}^32 p

c)5 p

Fiecare bomboană este acoperită în totalitate cu staniol. Arătați că aria suprafeței minime de staniol necesar împachetării a 100100 de bomboane este mai mare decât 960 cm2960\text{ cm}^2 (se neglijează pierderile la suprapuneri).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dacă MM este mijlocul laturii [AB][AB], atunci VM=72 cmVM = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\text{ cm}1 p
  2. Alat=947 cm2\mathcal{A}_{lat} = \dfrac{9}{4}\sqrt{7}\text{ cm}^21 p
  3. At=9(3+7)4 cm2\mathcal{A}_t = \dfrac{9\left(\sqrt{3} + \sqrt{7}\right)}{4}\text{ cm}^21 p
  4. 3+7>4,3\sqrt{3} + \sqrt{7} > 4{,}31 p
  5. Aria suprafeței minime este mai mare decât 960 cm2960\text{ cm}^21 p

Toate exercițiile din EN 2012, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriLinii importante în triunghiRelații metrice în triunghiul dreptunghicArii și volume ale corpurilorRadicaliNumere reale: apartenență, comparare, modul

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).