Evaluare Națională 2015 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi ABCDABCD, cu lungimea AD=303 mAD = 30\sqrt{3}\text{ m} și lățimea AB=30 mAB = 30\text{ m}. Un patinator pornește din punctul MM situat pe latura ABAB astfel încât BM=10 mBM = 10\text{ m} și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului atingând latura BCBC în NN, latura CDCD în PP, latura DADA în QQ și se întoarce în punctul MM.

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu traseul MNPQ al patinatorului, paralel cu diagonalele, M pe AB, N pe BC, P pe CD, Q pe DA.

a)5 p

Calculați aria dreptunghiului ABCDABCD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 9003 m2900\sqrt{3}\text{ m}^2

Barem oficial

  1. AABCD=303⋅30=\mathcal{A}_{ABCD} = 30\sqrt{3} \cdot 30 =3 p
  2. =9003 m2= 900\sqrt{3}\text{ m}^22 p

b)5 p

Arătați că m(∠NMQ)=60∘m(\angle NMQ) = 60^\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MN∥ACMN \parallel AC și MQ∥BD⇒m(∠NMQ)=m(∠COD)MQ \parallel BD \Rightarrow m(\angle NMQ) = m(\angle COD), unde OO este punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului ABCDABCD2 p
  2. AC=BD=60 m⇒OD=OC=CD⇒△ODCAC = BD = 60\text{ m} \Rightarrow OD = OC = CD \Rightarrow \triangle ODC este echilateral, de unde m(∠NMQ)=60∘m(\angle NMQ) = 60^\circ3 p

c)5 p

Arătați că distanța parcursă de patinator pe traseul M→N→P→Q→MM \to N \to P \to Q \to M este egală cu 120 m120\text{ m}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MN∥AC⇒△BMN∼△BAC⇒BMBA=MNAC⇒MN=20 mMN \parallel AC \Rightarrow \triangle BMN \sim \triangle BAC \Rightarrow \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{MN}{AC} \Rightarrow MN = 20\text{ m}1 p
  2. MQ∥BD⇒△AMQ∼△ABD⇒AMAB=MQBD⇒MQ=40 mMQ \parallel BD \Rightarrow \triangle AMQ \sim \triangle ABD \Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MQ}{BD} \Rightarrow MQ = 40\text{ m}2 p
  3. MNPQMNPQ paralelogram ⇒MN+NP+PQ+QM=2(MN+MQ)=120 m\Rightarrow MN + NP + PQ + QM = 2(MN + MQ) = 120\text{ m}2 p

· · Toate exercițiile din EN 2015, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereArii și perimetre în planRadicaliTriunghiul: proprietăți și congruențăDrepte paralele și perpendiculare în planTeorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).