Evaluare Națională 2016 · Matematică · subiectul din 30 iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi ABCDABCD, cu AB=150 mAB = 150\text{ m}, BC=100 mBC = 100\text{ m}. Se consideră punctul MM, mijlocul laturii ABAB și punctul NN situat pe segmentul DMDM, astfel încât DN=2MNDN = 2MN.

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu M mijlocul lui AB; N pe DM; diagonala AC trasată punctat prin N.

a)5 p

Arătați că perimetrul dreptunghiului ABCDABCD este egal cu 500 m500\text{ m}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=2(AB+BC)=2(150+100)=P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(150 + 100) =3 p
  2. =2⋅250=500 m= 2 \cdot 250 = 500\text{ m}2 p

b)5 p

Arătați că punctele AA, NN și CC sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. DMDM este mediană în △ADB\triangle ADB și, cum N∈(DM)N \in (DM) astfel încât DN=2MNDN = 2MN, obținem că punctul NN este centrul de greutate al △ADB\triangle ADB2 p
  2. AOAO este mediană în triunghiul ADBADB, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD, deci N∈(AO)N \in (AO), adică punctele AA, NN și CC sunt coliniare3 p

c)5 p

Demonstrați că aria triunghiului AMNAMN este egală cu 1250 m21250\text{ m}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AM∥DC⇒△AMN∼△CND⇒d(N,AM)d(N,DC)=AMDC=12⇒d(N,AM)d(N,AM)+d(N,DC)=11+2AM \parallel DC \Rightarrow \triangle AMN \sim \triangle CND \Rightarrow \dfrac{d(N, AM)}{d(N, DC)} = \dfrac{AM}{DC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{d(N, AM)}{d(N, AM) + d(N, DC)} = \dfrac{1}{1 + 2}, de unde obținem d(N,AM)=13⋅AD=1003 md(N, AM) = \dfrac{1}{3} \cdot AD = \dfrac{100}{3}\text{ m}3 p
  2. A△AMN=d(N,AM)⋅AM2=1003⋅752=1250 m2\mathcal{A}_{\triangle AMN} = \dfrac{d(N, AM) \cdot AM}{2} = \dfrac{\dfrac{100}{3} \cdot 75}{2} = 1250\text{ m}^22 p

Toate exercițiile din EN 2016, subiectul din 30 iunie 2016 (Varianta 09) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereLinii importante în triunghiTeorema lui Thales și asemănareaArii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).