Acasă Evaluare Națională Matematică 2016 30 iunie S III ex. 2 Evaluare Națională 2016 · Matematică · subiectul din 30 iunie · 15 puncte
Subiectul III, exercițiul 2
În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat A B C D ABCD A BC D A B = 4 2 cm AB = 4\sqrt{2}\text{ cm} A B = 4 2 cm M M M N N N B C BC BC A D AD A D
a) 5 p Arătați că A M = 2 6 cm AM = 2\sqrt{6}\text{ cm} A M = 2 6 cm
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Barem oficial A M 2 = A B 2 − B M 2 = ( 4 2 ) 2 − ( 2 2 ) 2 = AM^2 = AB^2 - BM^2 = \left(4\sqrt{2}\right)^2 - \left(2\sqrt{2}\right)^2 = A M 2 = A B 2 − B M 2 = ( 4 2 ) 2 − ( 2 2 ) 2 = 3 p = 24 ⇒ A M = 2 6 cm = 24 \Rightarrow AM = 2\sqrt{6}\text{ cm} = 24 ⇒ A M = 2 6 cm 2 p b) 5 p Arătați că volumul tetraedrului A B C D ABCD A BC D 64 3 cm 3 \dfrac{64}{3}\text{ cm}^3 3 64 cm 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Barem oficial Înălțimea tetraedrului este egală cu 8 3 3 cm \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\text{ cm} 3 8 3 cm 2 p A △ B C D = ( 4 2 ) 2 ⋅ 3 4 = 8 3 cm 2 ⇒ V A B C D = 1 3 ⋅ 8 3 ⋅ 8 3 3 = 64 3 cm 3 \mathcal{A}_{\triangle BCD} = \dfrac{\left(4\sqrt{2}\right)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}\text{ cm}^2 \Rightarrow V_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot 8\sqrt{3} \cdot \dfrac{8\sqrt{3}}{3} = \dfrac{64}{3}\text{ cm}^3 A △ BC D = 4 ( 4 2 ) 2 ⋅ 3 = 8 3 cm 2 ⇒ V A BC D = 3 1 ⋅ 8 3 ⋅ 3 8 3 = 3 64 cm 3 3 p c) 5 p Demonstrați că unghiul dintre dreptele A B AB A B M N MN MN 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Barem oficial Segmentul N P NP NP △ A B D \triangle ABD △ A B D P P P B D BD B D A B ∥ N P AB \parallel NP A B ∥ NP m ( ∠ ( A B , M N ) ) = m ( ∠ ( N P , M N ) ) m(\angle(AB, MN)) = m(\angle(NP, MN)) m ( ∠ ( A B , MN )) = m ( ∠ ( NP , MN )) 2 p A M = D M ⇒ M N = 4 cm AM = DM \Rightarrow MN = 4\text{ cm} A M = D M ⇒ MN = 4 cm M P = 2 2 cm MP = 2\sqrt{2}\text{ cm} MP = 2 2 cm N P = 2 2 cm NP = 2\sqrt{2}\text{ cm} NP = 2 2 cm M N 2 = M P 2 + N P 2 MN^2 = MP^2 + NP^2 M N 2 = M P 2 + N P 2 △ M N P \triangle MNP △ MNP m ( ∠ M N P ) = m ( ∠ ( N P , M N ) ) = 45 ∘ m(\angle MNP) = m(\angle(NP, MN)) = 45^\circ m ( ∠ MNP ) = m ( ∠ ( NP , MN )) = 4 5 ∘ 3 p Ce trebuie să știi aici (corpuri geometrice: elemente și desfășurări):Diagonala cubului: d = ℓ 3 d = \ell\sqrt{3} d = ℓ 3 d = L 2 + ℓ 2 + h 2 d = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2} d = L 2 + ℓ 2 + h 2 Piramida regulată are baza poligon regulat, iar înălțimea cade în centrul bazei. Apotema piramidei, înălțimea și apotema bazei formează un triunghi dreptunghic: a p 2 = h 2 + a b 2 a_p^2 = h^2 + a_b^2 a p 2 = h 2 + a b 2 Tetraedrul regulat are toate cele 6 muchii congruente. Exersează exerciții de același fel →
← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2016, subiectul din 30 iunie 2016 (Varianta 09) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore
Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →
Exersează aceeași temă EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ ABCDA'B'C'D' A BC D A ′ B ′ C ′ D ′ A B C D ABCD A BC D A B = 4 cm AB = 4\text{ cm} A B = 4 cm A A ′ = 4 2 cm AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm} A A ′ = 4 2 cm
Rezolvă → EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p În figura alăturată este reprezentat cubul A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ ABCDA'B'C'D' A BC D A ′ B ′ C ′ D ′ A B = 8 cm AB = 8\text{ cm} A B = 8 cm M M M N N N P P P A D AD A D D C DC D C D D ′ DD' D D ′
Rezolvă → EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p În figura alăturată este reprezentată piramida regulată V A B C D VABCD V A BC D A B C D ABCD A BC D V A = A B = 12 cm VA = AB = 12\text{ cm} V A = A B = 12 cm M M M V A VA V A N N N M M M ( A B C ) (ABC) ( A BC )
Rezolvă → Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și volume ale corpurilor Poligoane regulate înscrise în cerc Unghiuri în spațiu
Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF) . Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI). Ai găsit o greșeală?
