Evaluare Națională 2018 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ și punctele $D$ și $E$ sunt situate pe latura $BC$ astfel încât $BD = DE = EC = 6\text{ cm}$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC cu D și E pe BC, care împart latura în trei părți egale; segmentele AD și AE trasate.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $54\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BC = BD + DE + EC = 18\text{ cm}$ 3 p
$P_{\triangle ABC} = 3BC = 54\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Calculați distanța de la punctul $D$ la latura $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $3\sqrt{3}\text{ cm}$

Barem oficial

Distanța de la punctul $D$ la latura $AB$ este $DF$ , unde $DF \perp AB$ , $F \in AB$ 2 p
$m(\angle ABC) = 60^\circ \Rightarrow \sin(\angle FBD) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{DF}{BD}$ , deci $DF = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că $\sin(\angle DAE) < 0{,}4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM = 9\sqrt{3}\text{ cm}$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $BC$ , deci $AD = 6\sqrt{7}\text{ cm}$ 2 p
Cum $\mathcal{A}_{\triangle ADE} = \dfrac{AM \cdot DE}{2} = \dfrac{d(E, AD) \cdot AD}{2}$ , obținem $d(E, AD) = \dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\text{ cm}$ 1 p
$\sin(\angle DAE) = \dfrac{d(E, AD)}{AE} = \dfrac{3\sqrt{3}}{14}$ și, cum $\dfrac{3\sqrt{3}}{14} < \dfrac{2}{5}$ , obținem $\sin(\angle DAE) < 0{,}4$ 2 p

Toate exercițiile din EN 2018, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).