Evaluare Națională 2019 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB = 10\sqrt{2}\text{ m}$ și $AD = 10\text{ m}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $BD$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu diagonalele AC și BD; M mijlocul lui AB; CM și BD se intersectează în N.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $100\sqrt{2}\text{ m}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot AD =$ 2 p
$= 10\sqrt{2} \cdot 10 = 100\sqrt{2}\text{ m}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că măsura unghiului $BNC$ este egală cu $90^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\dfrac{MB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{BC}{CD}$ și $m(\angle MBC) = m(\angle BCD) = 90^\circ \Rightarrow \triangle MBC \sim \triangle BCD \Rightarrow \angle BCM \equiv \angle CDB$ 3 p
$m(\angle CBD) + m(\angle CDB) = 90^\circ \Rightarrow m(\angle CBN) + m(\angle BCN) = 90^\circ \Rightarrow m(\angle BNC) = 90^\circ$ 2 p

c)5 p

Demonstrați că punctul $A$ este situat pe mediatoarea segmentului $ND$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Punctul $N$ este centrul de greutate al $\triangle ABC$ , deci, dacă $\{P\} = AN \cap BC$ , obținem că $P$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AN = \dfrac{2}{3}AP$ 2 p
$AP = 15\text{ m} \Rightarrow AN = 10\text{ m}$ , deci $AN = AD$ , de unde obținem că punctul $A$ este situat pe mediatoarea segmentului $ND$ 3 p

Toate exercițiile din EN 2019, subiect de rezervă (Varianta 2) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Radicali Teorema lui Thales și asemănarea Unghiuri Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).