Evaluare Națională 2019 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic ABCDABCD, cu AB∥CDAB \parallel CD, m(∠BAD)=90∘m(\angle BAD) = 90^\circ, AB=12 cmAB = 12\text{ cm}, CD=4 cmCD = 4\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctul EE aparține laturii ABAB, astfel încât AE=4 cmAE = 4\text{ cm} și punctul FF aparține laturii ADAD, astfel încât AF=6 cmAF = 6\text{ cm}.

Figura 2: trapezul dreptunghic ABCD cu diagonalele AC și BD, care se intersectează în O; E pe AB și F pe AD.

a)5 p

Arătați că aria trapezului ABCDABCD este egală cu 64 cm264\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AABCD=(AB+CD)⋅AD2=(12+4)⋅82=\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(12 + 4) \cdot 8}{2} =3 p
  2. =16⋅82=64 cm2= \dfrac{16 \cdot 8}{2} = 64\text{ cm}^22 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului BCDBCD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 135∘135^\circ

Barem oficial

  1. AE∥CDAE \parallel CD, AE=CD⇒AECDAE = CD \Rightarrow AECD paralelogram și, cum AD⊥AE⇒AECDAD \perp AE \Rightarrow AECD dreptunghi, deci m(∠ECD)=90∘m(\angle ECD) = 90^\circ2 p
  2. BE=CE=8 cm⇒△BCEBE = CE = 8\text{ cm} \Rightarrow \triangle BCE este dreptunghic isoscel, deci m(∠BCE)=45∘m(\angle BCE) = 45^\circ, de unde obținem m(∠BCD)=90∘+45∘=135∘m(\angle BCD) = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ3 p

c)5 p

Demonstrați că dreptele CECE și FOFO sunt perpendiculare, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AB∥CD⇒△AOB∼△CODAB \parallel CD \Rightarrow \triangle AOB \sim \triangle COD, deci AOCO=ABCD=3\dfrac{AO}{CO} = \dfrac{AB}{CD} = 32 p
  2. AFDF=3\dfrac{AF}{DF} = 3, deci AFDF=AOCO\dfrac{AF}{DF} = \dfrac{AO}{CO}, de unde obținem FO∥CDFO \parallel CD și, cum CE⊥CD⇒CE⊥FOCE \perp CD \Rightarrow CE \perp FO3 p

Toate exercițiile din EN 2019, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereArii și perimetre în planRelații metrice în triunghiul dreptunghicTeorema lui Thales și asemănareaDrepte paralele și perpendiculare în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).