Evaluare Națională 2019 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi ABCDABCD cu AB=16 cmAB = 16\text{ cm} și BC=8 cmBC = 8\text{ cm}. Se consideră OO, punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului ABCDABCD și punctul MM, mijlocul segmentului CDCD. Pe planul dreptunghiului ABCDABCD se construiește perpendiculara VM=8 cmVM = 8\text{ cm}, pe care se consideră punctul FF astfel încât MFVF=13\dfrac{MF}{VF} = \dfrac{1}{3}.

Figura 3: dreptunghiul ABCD cu centrul O; M mijlocul lui CD; perpendiculara VM pe plan, cu F pe VM; E mijlocul lui OM.

a)5 p

Calculați perimetrul dreptunghiului ABCDABCD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 48 cm48\text{ cm}

Barem oficial

  1. PABCD=2(AB+BC)=2(16+8)=P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(16 + 8) =3 p
  2. =48 cm= 48\text{ cm}2 p

b)5 p

Arătați că distanța de la punctul VV la dreapta ABAB este egală cu 82 cm8\sqrt{2}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VM⊥(ABC)VM \perp (ABC), MN⊥ABMN \perp AB, unde N∈ABN \in AB și MN,AB⊂(ABC)⇒VN⊥ABMN, AB \subset (ABC) \Rightarrow VN \perp AB3 p
  2. △VMN\triangle VMN este dreptunghic isoscel, deci VN=82 cmVN = 8\sqrt{2}\text{ cm}2 p

c)5 p

Demonstrați că dreapta EFEF este paralelă cu planul (VAB)(VAB), unde punctul EE este mijlocul segmentului OMOM.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Punctele MM, OO și NN sunt coliniare și EE este mijlocul segmentului OMOM, deci MENE=13\dfrac{ME}{NE} = \dfrac{1}{3}2 p
  2. MENE=MFVF⇒EF∥VN\dfrac{ME}{NE} = \dfrac{MF}{VF} \Rightarrow EF \parallel VN și, cum VN⊂(VAB)VN \subset (VAB), obținem EF∥(VAB)EF \parallel (VAB)3 p

Toate exercițiile din EN 2019, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiuPatrulatereDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicTeorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).