Evaluare Națională 2020 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un cerc, de diametru AB=8 cmAB = 8\text{ cm} și punctul TT, situat pe cerc, diferit de punctele AA și BB. Punctul CC este intersecția tangentei la cerc în punctul TT cu tangenta la cerc în punctul AA și punctul DD este intersecția tangentei la cerc în punctul TT cu tangenta la cerc în punctul BB. Lungimea segmentului ACAC este de 2 cm2\text{ cm}.

Figura 2: cercul de centru O și diametru AB; tangentele în A, T și B formează punctele C și D; sunt trasate OC, OD, AT și BT, cu M și N intersecțiile.

a)5 p

Arătați că lungimea cercului de diametru ABAB este egală cu 8π cm8\pi\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Lungimea cercului de diametru ABAB este egală cu 2πR=2\pi R =3 p
  2. =2⋅AB2π=8π cm= 2 \cdot \dfrac{AB}{2}\pi = 8\pi\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiul ABDABD este isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. TC=ACTC = AC și TD=BDTD = BD, deci CD=BD+ACCD = BD + AC2 p
  2. CD2=CE2+DE2CD^2 = CE^2 + DE^2, unde CE⊥BDCE \perp BD, E∈BDE \in BD, deci (BD+AC)2=82+(BD−AC)2(BD + AC)^2 = 8^2 + (BD - AC)^2 și, cum AC=2 cmAC = 2\text{ cm}, obținem BD=8 cmBD = 8\text{ cm}, deci AB=BD⇒△ABDAB = BD \Rightarrow \triangle ABD este isoscel3 p

c)5 p

Dreptele ATAT și OCOC se intersectează în punctul MM și dreptele BTBT și ODOD se intersectează în punctul NN. Demonstrați că aria patrulaterului MONTMONT este egală cu 6,4 cm26{,}4\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABAB diametru, deci m(∠ATB)=90∘m(\angle ATB) = 90^\circ1 p
  2. AC=TCAC = TC, OA=OT⇒OC⊥ATOA = OT \Rightarrow OC \perp AT și TD=BDTD = BD, OB=OT⇒OD⊥BTOB = OT \Rightarrow OD \perp BT, deci patrulaterul MONTMONT este dreptunghi2 p
  3. △TCO\triangle TCO dreptunghic, TM⊥COTM \perp CO, TC=2 cmTC = 2\text{ cm} și OT=4 cm⇒OM=85 cmOT = 4\text{ cm} \Rightarrow OM = \dfrac{8}{\sqrt{5}}\text{ cm} și TM=45 cmTM = \dfrac{4}{\sqrt{5}}\text{ cm}, deci AMONT=TM⋅OM=325=6,4 cm2\mathcal{A}_{MONT} = TM \cdot OM = \dfrac{32}{5} = 6{,}4\text{ cm}^22 p

Toate exercițiile din EN 2020, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO și raza de 6 cm6\text{ cm}. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât dreptele ABAB și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM este mijlocul coardei ABAB și OM=3 cmOM = 3\text{ cm}.

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât ABAB este diametru. Dreptele CDCD și ABAB sunt paralele, semidreapta ACAC este bisectoarea unghiului BADBAD și CD=16 cmCD = 16\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.
Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO, în care ABAB și CDCD sunt diametre perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BCBC, dreptele DMDM și ABAB se intersectează în punctul NN, DN=6 cmDN = 6\text{ cm} și MN=3 cmMN = 3\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.
Rezolvă →

CerculRelații metrice în triunghiul dreptunghicEcuații de gradul IPatrulatere

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).