Evaluare Națională 2020 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră VABCDVABCD cu VB=35 cmVB = 3\sqrt{5}\text{ cm} și baza pătratul ABCDABCD, AB=6 cmAB = 6\text{ cm}. Punctul OO este intersecția dreptelor ACAC și BDBD, iar dreapta VOVO este perpendiculară pe planul (ABC)(ABC). Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, punctul GG este situat pe segmentul VOVO astfel încât VG=2GOVG = 2GO și punctul NN este intersecția dreptelor VBVB și DGDG.

Figura 3: piramida patrulateră VABCD cu înălțimea VO; M mijlocul lui VA; G pe VO; N intersecția lui VB cu DG; segmentul MN trasat.

a)5 p

Arătați că perimetrul pătratului ABCDABCD este egal cu 24 cm24\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=4AB=P_{ABCD} = 4AB =3 p
  2. =4⋅6=24 cm= 4 \cdot 6 = 24\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta MNMN este paralelă cu planul (ABC)(ABC).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VOVO este mediană în △VBD\triangle VBD și VG=2GOVG = 2GO, G∈VOG \in VO, deci GG este centrul de greutate al △VBD\triangle VBD și, cum {N}=VB∩DG\{N\} = VB \cap DG, obținem că punctul NN este mijlocul segmentului VBVB2 p
  2. MNMN este linie mijlocie în △VAB⇒MN∥AB\triangle VAB \Rightarrow MN \parallel AB și, cum AB⊂(ABC)AB \subset (ABC), obținem MN∥(ABC)MN \parallel (ABC)3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul MM la planul (ABC)(ABC) este egală cu 332 cm\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VO∥NPVO \parallel NP, unde NP⊥BONP \perp BO, P∈BOP \in BO, deci NP⊥(ABC)NP \perp (ABC) și, cum MN∥(ABC)MN \parallel (ABC), obținem d(M,(ABC))=d(N,(ABC))=NPd(M, (ABC)) = d(N, (ABC)) = NP2 p
  2. △VOB\triangle VOB este dreptunghic, BO=32 cmBO = 3\sqrt{2}\text{ cm}, deci VO=VB2−OB2=33 cmVO = \sqrt{VB^2 - OB^2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} și, cum NN este mijlocul segmentului VBVB și NP∥VO⇒NPNP \parallel VO \Rightarrow NP este linie mijlocie în △VBO\triangle VBO, deci NP=332 cmNP = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}3 p

Toate exercițiile din EN 2020, sesiunea specială (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriPatrulatereParalelism și perpendicularitate în spațiuLinii importante în triunghiDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).