Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 15 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=10\text{ cm}$ și dreptele $AM$ , $BN$ și $CP$ , perpendiculare pe planul $(ABC)$ , astfel încât $AM=10\sqrt3\text{ cm}$ , $BN=5\sqrt3\text{ cm}$ și $CP=5\sqrt3\text{ cm}$ , iar punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a planului $(ABC)$ .

Figura 3: triunghiul echilateral ABC și punctele M, N, P deasupra lui A, B, C, de aceeași parte a planului; sunt trasate muchiile laterale perpendiculare pe bază și triunghiul MNP.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABC}=3AB$ 2 p
$P_{ABC}=3\cdot10=30\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $BC$ este paralelă cu planul $(ANP)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BN\perp(ABC)$ și $CP\perp(ABC)$ , deci $BN\parallel CP$ . Cum $BN=CP$ , patrulaterul $BCPN$ este paralelogram2 p
$BC\parallel NP$ și $NP\subset(ANP)$ , deci $BC\parallel(ANP)$ 3 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul $A$ la planul $(MNP)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $5\sqrt6\text{ cm}$

Barem oficial

Fie $E\in NP$ cu $AE\perp NP$ . Din $\triangle ABN\cong\triangle ACP$ , $AN=AP$ , deci $E$ este mijlocul lui $NP$ 1 p
Fie $D,Q$ mijloacele segmentelor $BC$ , respectiv $AM$ . Atunci $AD=5\sqrt3\text{ cm}$ , $ADEQ$ este pătrat și $MEQ$ este dreptunghic isoscel, deci $\angle AEM=45^\circ+45^\circ=90^\circ$ 2 p
$AE\perp NP$ și $AE\perp ME$ , deci $AE\perp(MNP)$ , de unde $d(AE,(MNP))=AE=5\sqrt6\text{ cm}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 15 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Paralelism și perpendicularitate în spațiu Patrulatere Distanțe în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).