Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 36 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB = 20\text{ cm}$ și punctele $M$ și $N$ , situate de aceeași parte a planului $(ABC)$ , astfel încât $MA \perp (ABC)$ , $NC \perp (ABC)$ , $MA = 30\text{ cm}$ și $NC = 15\text{ cm}$ .

Figura 3: triunghiul echilateral ABC și punctele M deasupra lui A, N deasupra lui C, în aceeași parte a planului; MA și NC sunt perpendiculare pe plan, iar MN, MB și NB sunt trasate.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $60\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{\triangle ABC} = 3AB$ 3 p
$P_{\triangle ABC} = 3 \cdot 20 = 60\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $MA$ este paralelă cu planul $(NBC)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MA \perp (ABC)$ și $NC \perp (ABC)$ , deci $MA \parallel NC$ 2 p
$MA \parallel NC$ și $NC \subset (NBC)$ , deci $MA \parallel (NBC)$ 3 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta de intersecție a planelor $(MNB)$ și $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $10\sqrt{13}\text{ cm}$

Barem oficial

$(MNB) \cap (ABC) = BP$ , unde $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $MN$ și $AC$ și, cum $MA \parallel NC$ , rezultă $\triangle PCN \sim \triangle PAM$ , deci $\dfrac{PC}{PA} = \dfrac{NC}{MA} = \dfrac{PN}{PM}$ , de unde obținem $\dfrac{PC}{PA} = \dfrac{1}{2}$ , deci $C$ este mijlocul segmentului $AP$ 2 p
$CA = CB = CP$ , deci $\triangle ABP$ este dreptunghic și $AB \perp BP$ . Cum $MA \perp (ABC)$ și $BP \subset (ABC)$ , obținem $MB \perp BP$ , deci $d(M, BP) = MB = \sqrt{MA^2 + AB^2} = 10\sqrt{13}\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 36 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Paralelism și perpendicularitate în spațiu Distanțe în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).