Evaluare Națională 2022 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $SABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ , $\angle SAC = 45^\circ$ și $AB = 12\text{ cm}$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , respectiv $SD$ , iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ .

Piramida patrulateră regulată SABCD cu O centrul bazei; M mijlocul lui BC, N mijlocul lui SD; segmentul MN trasat punctat.

a)2 p

Arată că $SC = 12\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AC$ diagonală în pătratul $ABCD$ , deci $AC = 12\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$\angle SAC = \angle SCA = 45^\circ \Rightarrow SAC$ este triunghi dreptunghic isoscel $\Rightarrow SA^2 + SC^2 = AC^2 \Rightarrow SC = 12\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Calculează lungimea segmentului $MN$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $MN = 6\sqrt{3}\text{ cm}$

Barem oficial

$NP$ este linie mijlocie în triunghiul $SAD$ , unde $P$ este mijlocul segmentului $SA$ , deci $NP \parallel AD$ și $NP = \dfrac{AD}{2}$ 1 p
$NP \parallel MB$ și $NP = MB \Rightarrow BMNP$ este paralelogram, deci $MN = BP$ 1 p
$BP$ este înălțime în triunghiul echilateral $SAB$ , deci $BP = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ , de unde $MN = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2022, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Relații metrice în triunghiul dreptunghic Distanțe în spațiu Linii importante în triunghi Patrulatere

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).