Evaluare Națională 2023 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD cu AB=910 cmAB = 9\sqrt{10}\text{ cm} și AC=30 cmAC = 30\text{ cm}. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul OO, iar punctul MM este mijlocul segmentului CDCD. Dreptele BCBC și AMAM se intersectează în punctul EE, iar dreptele OEOE și CDCD se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu diagonalele care se intersectează în O; M mijlocul lui CD; dreapta AM taie prelungirea lui BC în E; OE taie CD în P; S este intersecția lui AM cu BD.

a)2 p

Arată că aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu 270 cm2270\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Triunghiul ABCABC este dreptunghic, deci BC2=AC2−AB2BC^2 = AC^2 - AB^2, de unde obținem BC=310 cmBC = 3\sqrt{10}\text{ cm}1 p
  2. AABCD=AB⋅BC=910⋅310=270 cm2\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC = 9\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} = 270\text{ cm}^21 p

b)3 p

Arată că lungimea segmentului SPSP este egală cu 10 cm10\text{ cm}, unde SS este punctul de intersecție a dreptelor AMAM și BDBD.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △MCE≡△MDA\triangle MCE \equiv \triangle MDA, de unde obținem ME=MAME = MA1 p
  2. CMCM și EOEO sunt mediane în triunghiul ACEACE, CD∩EO={P}CD \cap EO = \{P\}, deci punctul PP este centrul de greutate al triunghiului ACE⇒MPMC=13ACE \Rightarrow \dfrac{MP}{MC} = \dfrac{1}{3}; AMAM și DODO sunt mediane în triunghiul ACDACD, AM∩DO={S}AM \cap DO = \{S\}, deci punctul SS este centrul de greutate al triunghiului ACD⇒MSMA=13ACD \Rightarrow \dfrac{MS}{MA} = \dfrac{1}{3}1 p
  3. MPMC=MSMA=13\dfrac{MP}{MC} = \dfrac{MS}{MA} = \dfrac{1}{3}, ∠SMP=∠AMC⇒△SMP∼△AMC⇒SP=13AC=10 cm\angle SMP = \angle AMC \Rightarrow \triangle SMP \sim \triangle AMC \Rightarrow SP = \dfrac{1}{3}AC = 10\text{ cm}1 p

Toate exercițiile din EN 2023, sesiunea iunie (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereRelații metrice în triunghiul dreptunghicArii și perimetre în planRadicaliLinii importante în triunghiTeorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).