Evaluare Națională 2024 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C' cu M mijlocul muchiei AB.

a)2 p

Arată că aria laterală a prismei $ABCA'B'C'$ este egală cu $108\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABB'A'} = AB \cdot AA' = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 1 p
$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 3 \cdot \mathcal{A}_{ABB'A'} = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 1 p

b)3 p

Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A'B'C)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}$

Barem oficial

$A'C = B'C$ , deci $CN \perp A'B'$ , unde punctul $N$ este mijlocul segmentului $A'B'$ și, cum $MN \perp A'B'$ , $CN \cap MN = \{N\}$ și $CN, MN \subset (CMN)$ , obținem $A'B' \perp (CMN)$ 1 p
$MP \perp CN$ , $P \in CN$ ; $A'B' \perp (CMN)$ , $MP \subset (CMN)$ , deci $A'B' \perp MP$ ; cum $A'B' \cap CN = \{N\}$ , $A'B'$ și $CN \subset (A'B'C)$ , obținem $MP \perp (A'B'C)$ , deci $d(M, (A'B'C)) = MP$ 1 p
Triunghiul $MNC$ este dreptunghic în $M$ , $MN = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ , $CM = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ , deci $CN = 3\sqrt{15}\text{ cm}$ , de unde obținem $MP = \dfrac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2024, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).