Evaluare Națională 2024 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $B$ , cu $AB = 2\sqrt{2}\text{ cm}$ , $BC = 2\sqrt{6}\text{ cm}$ și triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu $AE = EB$ . Punctele $E$ și $C$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în B și triunghiul dreptunghic isoscel AEB construit pe AB, de aceeași parte cu C.

a)2 p

Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $2\sqrt{2}\left(3 + \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul dreptunghic $ABC$ , $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{2}\left(3 + \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Calculează distanța de la punctul $E$ la dreapta $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\text{ cm}$

Barem oficial

$EM$ mediană în triunghiul dreptunghic isoscel $AEB \Rightarrow EM = \dfrac{AB}{2} = \sqrt{2}\text{ cm}$ , $BE$ bisectoarea $\angle ABC$ , $EM \perp AB$ , $M \in AB$ și $EN \perp BC$ , $N \in BC$ , de unde obținem $EM = EN = \sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$\mathcal{A}_{\triangle AEC} = \mathcal{A}_{\triangle ABC} - \mathcal{A}_{\triangle AEB} - \mathcal{A}_{\triangle BEC} = \dfrac{AB \cdot BC}{2} - \dfrac{AB \cdot EM}{2} - \dfrac{BC \cdot EN}{2} = 2\left(\sqrt{3} - 1\right)\text{ cm}^2$ 1 p
$\mathcal{A}_{\triangle AEC} = \dfrac{AC \cdot EP}{2}$ , unde $EP \perp AC$ , $P \in AC$ , de unde $EP = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\text{ cm}$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2024, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Arii și perimetre în plan Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).