Evaluare Națională 2014 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată schematic o cutie de carton cu capac, în formă de prismă dreaptă $ABCDEFGH$ cu baza $ABCD$ pătrat, $AB = 20\text{ cm}$ și $AE = 10\text{ cm}$ . Punctul $O$ este mijlocul segmentului $EG$ și punctul $M$ este situat pe $BO$ astfel încât distanța $CM$ să fie minimă.

Figura 3: prisma dreaptă ABCDEFGH cu baza pătrată; O mijlocul lui EG; M pe BO; segmentul CM trasat.

a)5 p

Calculați volumul cutiei.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $4000\text{ cm}^3$

Barem oficial

$V_{\text{cutie}} = 20 \cdot 20 \cdot 10 =$ 3 p
$= 4000\text{ cm}^3$ 2 p

b)5 p

Aria suprafeței cartonului folosit pentru confecționarea cutiei reprezintă $110\%$ din aria totală a cutiei. Determinați câți centimetri pătrați de carton au fost folosiți pentru confecționarea cutiei.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $1760\text{ cm}^2$

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = 400\text{ cm}^2$ și $\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 800\text{ cm}^2 \Rightarrow \mathcal{A}_{\text{totală}} = 1600\text{ cm}^2$ 3 p
Au fost folosiți pentru confecționarea cutiei $\dfrac{110}{100} \cdot 1600 = 1760\text{ cm}^2$ de carton2 p

c)5 p

Arătați că $CM = \dfrac{20\sqrt{6}}{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CM \perp BO \Rightarrow CM \cdot BO = d(O, BC) \cdot BC$ 2 p
$BO = 10\sqrt{3}$ și $d(O, BC) = 10\sqrt{2} \Rightarrow CM = \dfrac{20\sqrt{6}}{3}\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2014, sesiunea iunie (Varianta 3) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Procente Distanțe în spațiu Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).