Evaluare Națională 2016 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABCVABC, cu baza triunghiul ABCABC și AB=12 mAB = 12\text{ m}. Punctul MM este mijlocul segmentului BCBC și VM=63 mVM = 6\sqrt{3}\text{ m}, iar VOVO este înălțimea piramidei.

Figura 3: piramida triunghiulară regulată VABC cu înălțimea VO și apotema VM, M mijlocul lui BC.

a)5 p

Arătați că aria laterală a piramidei VABCVABC este egală cu 1083 m2108\sqrt{3}\text{ m}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Alaterala˘=3⋅VM⋅BC2=\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 3 \cdot \dfrac{VM \cdot BC}{2} =2 p
  2. =3⋅63⋅122=1083 m2= 3 \cdot \dfrac{6\sqrt{3} \cdot 12}{2} = 108\sqrt{3}\text{ m}^23 p

b)5 p

Arătați că volumul piramidei VABCVABC este egal cu 1442 m3144\sqrt{2}\text{ m}^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Cum △VOM\triangle VOM este dreptunghic și OM=13AM=23 mOM = \dfrac{1}{3}AM = 2\sqrt{3}\text{ m}, obținem VO=VM2−OM2=46 mVO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = 4\sqrt{6}\text{ m}2 p
  2. A△ABC=363 m2⇒Vpiramida˘=363⋅463=1442 m3\mathcal{A}_{\triangle ABC} = 36\sqrt{3}\text{ m}^2 \Rightarrow V_{\text{piramidă}} = \dfrac{36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6}}{3} = 144\sqrt{2}\text{ m}^33 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VOVO la dreapta VAVA este mai mică decât 3 m3\text{ m}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. NN este mijlocul segmentului VOVO și NP⊥VANP \perp VA, P∈(VA)⇒△VPN∼△VOAP \in (VA) \Rightarrow \triangle VPN \sim \triangle VOA, deci VNVA=NPAO\dfrac{VN}{VA} = \dfrac{NP}{AO}2 p
  2. NP=VN⋅AOVA=26⋅4312=22 mNP = \dfrac{VN \cdot AO}{VA} = \dfrac{2\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3}}{12} = 2\sqrt{2}\text{ m} și, cum 22<3⇔8<92\sqrt{2} < 3 \Leftrightarrow \sqrt{8} < \sqrt{9}, obținem NP<3 mNP < 3\text{ m}3 p

Toate exercițiile din EN 2016, sesiunea din 8 iunie 2016 (Varianta 04) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorRelații metrice în triunghiul dreptunghicLinii importante în triunghiDistanțe în spațiuTeorema lui Thales și asemănareaRadicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).