Evaluare Națională 2017 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ și $AC \cap BD = \{O\}$ .

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD cu înălțimea VO; M mijlocul muchiei VA; segmentul OM trasat.

a)5 p

Arătați că aria pătratului $ABCD$ este egală cu $144\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 =$ 2 p
$= 12^2 = 144\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Arătați că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}\text{ cm}^3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$VO = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ 2 p
$V_{VABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot VO \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 144 = 288\sqrt{2}\text{ cm}^3$ 3 p

c)5 p

Calculați măsura unghiului determinat de dreptele $OM$ și $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $60^\circ$

Barem oficial

$OM$ linie mijlocie în $\triangle ACV \Rightarrow OM \parallel CV$ și, cum $AB \parallel CD$ , obținem $m(\angle(OM, AB)) = m(\angle(CV, CD)) = m(\angle DCV)$ 2 p
Triunghiul $VDC$ este echilateral, deci $m(\angle DCV) = 60^\circ$ 3 p

Toate exercițiile din EN 2017, sesiunea specială (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $C'D'$ este egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala AC a bazei trasată punctat.

Rezolvă →EN 2024 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Unghiul dreptelor $AC$ și $AD'$ are măsura egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonalele de față AC și AD' trasate punctat.

Rezolvă →EN 2023 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , $BC = 2\text{ cm}$ și $AA' = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu M mijlocul muchiei BC; sunt trasate A'C, AB', B'M și AM.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și perimetre în plan Arii și volume ale corpurilor Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).