Evaluare Națională 2020 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=12 cmAB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, punctul NN este mijlocul laturii A′D′A'D' și punctul PP este situat pe latura C′D′C'D' astfel încât C′P=3D′PC'P = 3D'P.

Figura 3: cubul ABCDA'B'C'D'; M mijlocul lui AB, N mijlocul lui A'D', P pe C'D'; segmentul NP trasat.

a)5 p

Arătați că CM=65 cmCM = 6\sqrt{5}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △BCM\triangle BCM este dreptunghic în BB, deci CM=BC2+BM2=CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} =3 p
  2. =144+36=65 cm= \sqrt{144 + 36} = 6\sqrt{5}\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta NPNP este paralelă cu planul (B′MC)(B'MC).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ME∥BB′ME \parallel BB', ME=BB′ME = BB', unde EE este mijlocul laturii A′B′A'B' și, cum BB′∥CC′BB' \parallel CC', BB′=CC′BB' = CC', obținem ME∥CC′ME \parallel CC' și ME=CC′ME = CC', deci MCC′EMCC'E este paralelogram ⇒CM∥C′E\Rightarrow CM \parallel C'E2 p
  2. NPNP linie mijlocie în △D′A′F\triangle D'A'F, unde FF este mijlocul laturii C′D′⇒NP∥A′FC'D' \Rightarrow NP \parallel A'F și, cum A′EC′FA'EC'F este paralelogram, obținem C′E∥A′FC'E \parallel A'F, deci NP∥CMNP \parallel CM și, cum CM⊂(B′MC)CM \subset (B'MC), rezultă NP∥(B′MC)NP \parallel (B'MC)3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul PP la dreapta CMCM este egală cu 61455 cm\dfrac{6\sqrt{145}}{5}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dacă QQ este situat pe latura CDCD astfel încât CQ=3DQCQ = 3DQ, atunci PQ⊥(ABC)PQ \perp (ABC) și, pentru QT⊥CMQT \perp CM, T∈CMT \in CM, cum CM⊂(ABC)CM \subset (ABC), obținem PT⊥CMPT \perp CM, deci d(P,CM)=PTd(P, CM) = PT2 p
  2. ∠QCT≡∠BMC⇒sin⁡(∠QCT)=sin⁡(∠BMC)\angle QCT \equiv \angle BMC \Rightarrow \sin(\angle QCT) = \sin(\angle BMC), deci QTQC=BCCM⇒QT=1855 cm\dfrac{QT}{QC} = \dfrac{BC}{CM} \Rightarrow QT = \dfrac{18\sqrt{5}}{5}\text{ cm} și, cum PQ=12 cmPQ = 12\text{ cm} și PQ⊥QTPQ \perp QT, obținem PT=61455 cmPT = \dfrac{6\sqrt{145}}{5}\text{ cm}3 p

Toate exercițiile din EN 2020, subiect de rezervă (Varianta 3) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriRelații metrice în triunghiul dreptunghicParalelism și perpendicularitate în spațiuLinii importante în triunghiDistanțe în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).