Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 5 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă ABCA′B′C′ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, AB=12 cmAB=12\text{ cm}, AA′=123 cmAA'=12\sqrt3\text{ cm} și punctul MM este mijlocul segmentului A′BA'B.

Figura 3: prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C', cu M mijlocul diagonalei laterale A'B.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului ABB′A′ABB'A' este egală cu 1443 cm2144\sqrt3\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABB′A′ABB'A' este dreptunghi, deci AABB′A′=AB⋅AA′\mathcal A_{ABB'A'}=AB\cdot AA'3 p
  2. 12⋅123=1443 cm212\cdot12\sqrt3=144\sqrt3\text{ cm}^22 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta A′BA'B și planul (ABC)(ABC).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 60∘60^\circ

Barem oficial

  1. A′A⊥(ABC)A'A\perp(ABC) și AB⊂(ABC)AB\subset(ABC), deci unghiul cerut este ∠A′BA\angle A'BA2 p
  2. În triunghiul dreptunghic ABA′ABA', tg⁡(∠A′BA)=AA′/AB=3\operatorname{tg}(\angle A'BA)=AA'/AB=\sqrt3, deci unghiul este 60∘60^\circ3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul MM la planul (ABC)(ABC) este egală cu 63 cm6\sqrt3\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MNMN este linie mijlocie în triunghiul A′ABA'AB, unde NN este mijlocul lui ABAB, deci MN∥AA′MN\parallel AA'. Cum AA′⊥(ABC)AA'\perp(ABC), rezultă MN⊥(ABC)MN\perp(ABC), deci MN=d(M,(ABC))MN=d(M,(ABC))3 p
  2. MN=AA′/2=63 cmMN=AA'/2=6\sqrt3\text{ cm}2 p

· Toate exercițiile din EN 2020, Test 5 (setul 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului dreptelor ACAC și C′D′C'D' este egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala AC a bazei trasată punctat.
Rezolvă →EN 2024 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. Unghiul dreptelor ACAC și AD′AD' are măsura egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonalele de față AC și AD' trasate punctat.
Rezolvă →EN 2023 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=23 cmAB = 2\sqrt{3}\text{ cm}, BC=2 cmBC = 2\text{ cm} și AA′=4 cmAA' = 4\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul segmentului BCBC.

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu M mijlocul muchiei BC; sunt trasate A'C, AB', B'M și AM.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorArii și perimetre în planUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghicDistanțe în spațiuLinii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).