Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 11 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=10\sqrt2\text{ cm}$ , $BC=20\text{ cm}$ . Se consideră punctul $E$ , mijlocul laturii $BC$ , și punctul $F$ situat pe segmentul $AE$ , astfel încât $BF\perp AE$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD, E mijlocul lui BC și F piciorul perpendicularei din B pe AE; sunt trasate AE și BF.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $200\sqrt2\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal A_{ABCD}=AB\cdot BC$ 3 p
$\mathcal A_{ABCD}=10\sqrt2\cdot20=200\sqrt2\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Arătați că lungimea segmentului $EF$ este egală cu $\dfrac{10\sqrt3}{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ABE$ este dreptunghic în $B$ , deci $AE^2=AB^2+BE^2$ , de unde $AE=\sqrt{200+100}=10\sqrt3\text{ cm}$ 2 p
$\triangle ABE$ este dreptunghic în $B$ și $BF\perp AE$ , deci $BE^2=EF\cdot AE$ , de unde $EF=\dfrac{100}{10\sqrt3}=\dfrac{10\sqrt3}{3}\text{ cm}$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că punctele $B$ , $F$ și $D$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AE$ este mediană în $\triangle ABC$ și $EF=\dfrac13AE$ , deci $F$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ 3 p
$BO$ este mediană în $\triangle ABC$ , unde $\{O\}=AC\cap BD$ , deci $F\in(BO)$ și punctele $B,F,D$ sunt coliniare2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 11 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3$ .

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Linii importante în triunghi Patrulatere

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Transcrierea acestui exercițiu e în curs de verificare. Dacă vezi o greșeală, compară cu PDF-ul oficial.