Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 32 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un pătrat ABCDABCD cu AB=12 cmAB=12\text{ cm} și dreptele AMAM, BNBN, CPCP și DQDQ, perpendiculare pe planul (ABC)(ABC), astfel încât punctele M,N,P,QM,N,P,Q sunt situate de aceeași parte a planului (ABC)(ABC) și AM=2 cmAM=2\text{ cm}, BN=8 cmBN=8\text{ cm}, CP=10 cmCP=10\text{ cm} și DQ=4 cmDQ=4\text{ cm}. Punctul OO este intersecția dreptelor ACAC și BDBD, iar punctul EE este mijlocul segmentului MPMP.

Figura 3: pătratul ABCD cu segmentele AM, BN, CP și DQ perpendiculare pe bază; O este centrul pătratului și E mijlocul lui MP.

a)5 p

Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 72 cm272\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Triunghiul ABCABC este dreptunghic isoscel, deci AABC=AB2/2\mathcal A_{ABC}=AB^2/23 p
  2. 144/2=72 cm2144/2=72\text{ cm}^22 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta EOEO este perpendiculară pe planul (ABC)(ABC).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MA⊥(ABC)MA\perp(ABC) și PC⊥(ABC)PC\perp(ABC), deci MA∥PCMA\parallel PC. Cum OO este mijlocul lui ACAC și EE mijlocul lui MPMP, EOEO este linie mijlocie în trapezul ACPMACPM3 p
  2. EO∥MAEO\parallel MA și MA⊥(ABC)MA\perp(ABC), deci EO⊥(ABC)EO\perp(ABC)2 p

c)5 p

Demonstrați că punctele M,N,P,QM,N,P,Q sunt coplanare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Cu FF mijlocul lui NQNQ, FOFO este linie mijlocie în trapezul DBNQDBNQ, deci FO∥NBFO\parallel NB și FO=(DQ+NB)/2=6 cmFO=(DQ+NB)/2=6\text{ cm}2 p
  2. EO=6 cm=FOEO=6\text{ cm}=FO, ambele segmente sunt perpendiculare pe (ABC)(ABC) și E,FE,F sunt de aceeași parte a planului. Rezultă E=FE=F, deci MPMP și NQNQ sunt concurente și punctele M,N,P,QM,N,P,Q sunt coplanare3 p

· Toate exercițiile din EN 2020, Test 32 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru paralelism și perpendicularitate în spațiu · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiuArii și perimetre în planRelații metrice în triunghiul dreptunghicLinii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).