Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 37 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi ABCABC cu BC=25 cmBC = 25\text{ cm} și punctele MM și NN situate pe laturile ACAC, respectiv ABAB, astfel încât NM∥BCNM \parallel BC, NM=10 cmNM = 10\text{ cm}, BN=9 cmBN = 9\text{ cm} și CM=12 cmCM = 12\text{ cm}. Punctele DD și EE sunt mijloacele segmentelor BCBC, respectiv MNMN.

Figura 2: triunghiul ABC, cu A sus, B jos-stânga și C jos-dreapta; N pe AB, M pe AC, NM paralelă cu BC, E mijlocul lui NM și D mijlocul lui BC; este trasat ED.

a)5 p

Arătați că perimetrul trapezului BCMNBCMN este egal cu 56 cm56\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PBCMN=BC+CM+MN+NBP_{BCMN} = BC + CM + MN + NB3 p
  2. PBCMN=25+12+10+9=56 cmP_{BCMN} = 25 + 12 + 10 + 9 = 56\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. NM∥BC⇒△ANM∼△ABC⇒ANAB=AMAC=NMBCNM \parallel BC \Rightarrow \triangle ANM \sim \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{NM}{BC}, deci ANAN+9=AMAM+12=1025\dfrac{AN}{AN + 9} = \dfrac{AM}{AM + 12} = \dfrac{10}{25}, de unde obținem AN=6 cmAN = 6\text{ cm} și AM=8 cmAM = 8\text{ cm}3 p
  2. AM2+AN2=62+82=100=102=MN2⇒m(∠MAN)=90∘AM^2 + AN^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 = MN^2 \Rightarrow m(\angle MAN) = 90^\circ, deci △ABC\triangle ABC este dreptunghic în AA2 p

c)5 p

Calculați lungimea segmentului DEDE.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 7,5 cm7{,}5\text{ cm}

Barem oficial

  1. NF∥BD⇒△ANF∼△ABDNF \parallel BD \Rightarrow \triangle ANF \sim \triangle ABD, unde F=AD∩NMF = AD \cap NM, deci ANAB=NFBD\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{NF}{BD}, de unde obținem NF=5 cmNF = 5\text{ cm}. Punctele EE și FF coincid, deci punctele AA, EE și DD sunt coliniare2 p
  2. ADAD este mediană în triunghiul dreptunghic ABCABC, deci AD=BC2=12,5 cmAD = \dfrac{BC}{2} = 12{,}5\text{ cm} și AEAE este mediană în triunghiul dreptunghic ANMANM, deci AE=MN2=5 cmAE = \dfrac{MN}{2} = 5\text{ cm}. Rezultă DE=AD−AE=7,5 cmDE = AD - AE = 7{,}5\text{ cm}3 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 37 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereTeorema lui Thales și asemănareaRelații metrice în triunghiul dreptunghicLinii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).