Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 37 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCDABCD, AB=8 cmAB = 8\text{ cm} și AA′=122 cmAA' = 12\sqrt{2}\text{ cm}. Punctul OO este intersecția dreptelor ACAC și BDBD, iar punctul EE este situat pe muchia AA′AA' astfel încât AE=42 cmAE = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Figura 3: paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu E pe AA' și O în centrul bazei ABCD; sunt trasate diagonalele bazei, EO și EC'.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului ABB′A′ABB'A' este egală cu 962 cm296\sqrt{2}\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AABB′A′=AB⋅AA′\mathcal{A}_{ABB'A'} = AB \cdot AA'3 p
  2. AABB′A′=8⋅122=962 cm2\mathcal{A}_{ABB'A'} = 8 \cdot 12\sqrt{2} = 96\sqrt{2}\text{ cm}^22 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta EOEO și planul (ABC)(ABC).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 45∘45^\circ

Barem oficial

  1. EA⊥(ABC)EA \perp (ABC), deci unghiul dintre EOEO și planul (ABC)(ABC) este ∠AOE\angle AOE2 p
  2. EA⊥AOEA \perp AO și AE=AO=42 cmAE = AO = 4\sqrt{2}\text{ cm}, deci △AOE\triangle AOE este dreptunghic isoscel și m(∠AOE)=45∘m(\angle AOE) = 45^\circ3 p

c)5 p

Demonstrați că dreapta C′EC'E este perpendiculară pe planul (BDE)(BDE).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD pătrat, deci BD⊥ACBD \perp AC și AA′⊥BDAA' \perp BD. Cum AA′∩AC={A}AA' \cap AC = \{A\}, rezultă BD⊥(ACA′)BD \perp (ACA'), deci BD⊥C′EBD \perp C'E2 p
  2. m(∠AEO)=45∘m(\angle AEO) = 45^\circ și △A′EC′\triangle A'EC' este dreptunghic cu A′E=A′C′=82 cmA'E = A'C' = 8\sqrt{2}\text{ cm}, deci m(∠A′EC′)=45∘m(\angle A'EC') = 45^\circ. Cum AA, EE, A′A', C′C' și OO sunt coplanare, m(∠C′EO)=180∘−m(∠AEO)−m(∠A′EC′)=90∘m(\angle C'EO) = 180^\circ - m(\angle AEO) - m(\angle A'EC') = 90^\circ, deci C′E⊥EOC'E \perp EO2 p
  3. C′E⊥BDC'E \perp BD, C′E⊥EOC'E \perp EO și BD∩EO={O}BD \cap EO = \{O\}, deci C′E⊥(BDE)C'E \perp (BDE)1 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 37 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →EN 2025 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul OO, iar dreptele A′BA'B și AB′AB' se intersectează în punctul EE. Punctul FF este mijlocul segmentului CC′CC'.

Cubul ABCDA'B'C'D'; O este centrul bazei ABCD, E centrul feței ABB'A', F mijlocul muchiei CC'.
Rezolvă →

Arii și volume ale corpurilorUnghiuri în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicParalelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).